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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Trova la proiezione scalare compb a di a = (−4, −3, 7) su b = (4, −3, −1), cioè la componente di a nella direzione di b.
a = (−4, −3, 7)b = (4, −3, −1)
compb a =
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Il versore n̂ è perpendicolare sia a a = (−4, −1, −1) sia a b = (0, −2, 2) e ha componente z positiva. Trova la sua componente y n̂y.
a = (−4, −1, −1)b = (0, −2, 2)n̂z > 0
n̂y =
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave ha una cerniera in A e un carrello in B, a 2,5 m da A, e sporge a sbalzo oltre B fino all’estremo libero C. Trova la reazione verticale RB, considerando positivo il verso verso l’alto.
AB = 2,5 mAC = 4 mP1 = 15 kN in 1 mP2 = 70 kN in 4 m
RB = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
Una trave composta è incastrata alla parete in A, ha una cerniera interna in C (a 4 m da A) e poggia su un carrello in D (a 8 m da A). Porta un carico concentrato P a 6 m da A. Trova la reazione RD al carrello.
AC = 4 mAD = 8 mP = 60 kN in 6 m
RD = kN
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FBC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 5 maltezza = 4 mB è a 4 m da Acarico verticale = 15 kN
FBC = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 6 maltezza = 3 mB è a 5 m da Acarico verticale = 30 kNcarico orizzontale = 15 kN →
FAC = kN
7.Telai e macchineMedia
La leva a squadra mostrata ruota attorno al perno O. Una forza verticale di 80 N in A (240 mm da O) è equilibrata da una forza orizzontale in B (80 mm sopra O). Trova il modulo della reazione sul perno FO.
F = 80 NOA = 240 mmOB = 80 mm
FO = N
8.Telai e macchineDifficile
Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 5 m, con la cerniera al vertice C alta 4,5 m e il tirante orizzontale DE a 1,8 m dal suolo. Un carico verticale di 2 kN agisce sulla gamba AC in K, a 1,875 m (in orizzontale) da A. Trova il modulo della forza C che la cerniera C esercita sulla gamba BC.
P = 2 kNAB = 5 maltezza di C = 4,5 maltezza di DE = 1,8 mdistanza orizzontale da A a K = 1,875 m
C = kN
9.Taglio e momento flettenteMedia
Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 7,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 10 mw = 10 kN/m da 0 a 10 mx = 7,5 m
Mx = kN·m
10.Taglio e momento flettenteDifficile
La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.
L = 8 mw = 8 kN/m da 5 a 8 m
Mmax = kN·m
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 200 mm con due ali verticali, alta 170 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 8 mm. Trova il suo momento d’inerzia Ix rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.
b = 200 mmh = 170 mmt = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 60 MPa a trazione e 150 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente negativo Mallow che la trave può sopportare (indicane il valore assoluto).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Prodotto scalare
a·b = (−4)·4 + (−3)·(−3) + 7·(−1) = −14
Lunghezza di b
|b| = √(4² + (−3)² + (−1)²) = 5,099
Proiezione scalare
compb a = a·b/|b| = −14/5,099 = −2,746
Risposta
compb a = −2,746
Negativa: a ha una componente rivolta contro b.
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: n̂y = 0,6667
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Prodotto vettoriale
(a × b)x = aybz − azby = (−1)·2 − (−1)·(−2) = −4
(a × b)y = azbx − axbz = (−1)·0 − (−4)·2 = 8
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·(−2) − (−1)·0 = 8
Normalizza
La componente z di a × b è già positiva.
|a × b| = √((−4)² + 8² + 8²) = 12
n̂ = (−4, 8, 8)/12 = (−0,3333, 0,6667, 0,6667)
n̂y = 0,6667
Risposta
n̂y = 0,6667
3.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RB = 118 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.
Momenti rispetto ad A
Positivo in senso antiorario.
ΣMA = 0: RB·2,5 = 15·1 + 70·4
RB = 295/2,5 = 118 kN
Equilibrio verticale
RA = 15 + 70 − 118 = −33 kN
Risposta
RB = 118 kN
RA è negativa: la cerniera in A deve trattenere la trave verso il basso.
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RD = 30 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio. Una cerniera interna non può trasmettere momento flettente, il che fornisce un’equazione in più: il momento rispetto alla cerniera delle forze su ciascun lato è nullo.
Tratto CD
La cerniera non trasmette momento, quindi i momenti rispetto a C sul solo tratto CD devono equilibrarsi.
ΣMC = 0: RD·4 = 60·2
RD = 30 kN
VC = 60 − 30 = 30 kN
Risposta
RD = 30 kN
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: FBC = −12,37 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·5 = 15·4 → Cy = 12 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 12 = 3 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·6 = 30·5 + 15·3 → Cy = 32,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 32,5 = −2,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e Fin·a = Fout·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).
Forza in B
Q = 80·240/80 = 240 N
Reazione sul perno
Ox = 240 N, Oy = 80 N
FO = √(240² + 80²) = 253 N
Risposta
FO = 253 N
8.Telai e macchine
Risposta: C = 1,022 kN
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Reazione vincolare in B
By = 2·1,875/5 = 0,75 kN
Forza nel tirante
T = 0,75·2,5/2,7 = 0,6944 kN
Forza sulla cerniera di BC
Cx = 0,6944 kN, Cy = −0,75 kN
C = √(0,6944² + 0,75²) = 1,022 kN
Risposta
C = 1,022 kN
9.Taglio e momento flettente
Risposta: Mx = 93,75 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, applicata in x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·10·5
RB = 500/10 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 50 = 50 kN
Taglia in x = 7,5 m e tieni la parte sinistra
Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.
M = RA·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)
Mx = 50·7,5 − 10·7,5·3,75 = 93,75 kN·m
Risposta
Mx = 93,75 kN·m
10.Taglio e momento flettente
Risposta: Mmax = 23,77 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, applicata in x̄ = 6,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 8·3·6,5
RB = 156/8 = 19,5 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 19,5 = 4,5 kN
Taglio nullo
Il taglio parte da RA, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in rettangoli
Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.
base: A1 = 200·8 = 1600 mm², y1 = 4 mm
due ali: A2 = 2·8·162 = 2592 mm², y2 = 8 + 162/2 = 89 mm
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.