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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Modulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Versore: û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b: a·b/|b|
Lavoro: W = F·d
Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aree: parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo: V = |a·(b × c)|

Metodo

Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Telai e macchine

Equilibrio di ogni elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Asta a due forze: forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera: uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera: F = √(F_x² + F_y²)
Leva, pinza, leva a squadra: F_in·a = F_out·b
Ginocchiera: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico

Metodo

Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Esercizi

1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia

Una forza costante F = (−25, −15, 0) N agisce su un oggetto mentre si muove in linea retta dal punto A(−2, −3, 5) al punto B(5, 4, 0). Le coordinate sono in metri. Trova il lavoro W compiuto dalla forza.

F = (−25, −15, 0) NA(−2, −3, 5) mB(5, 4, 0) m

W = J

2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile

Una forza F = (−50, 10, 40) N agisce nel punto A(−3, −1, 0). Le coordinate sono in metri. Trova la componente y M_y del momento della forza rispetto a il punto O(−2, 1, 2).

F = (−50, 10, 40) NA(−3, −1, 0) mO(−2, 1, 2) m

M_y = N·m

3.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave semplicemente appoggiata (cerniera in A, carrello in B) porta un carico linearmente variabile che decresce da 12 kN/m in A fino a zero in B. Trova la reazione vincolare verticale R_B.

L = 10 mw₀ = 12 kN/m

R_B = kN

4.Reazioni vincolari delle traviDifficile

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Un carico P agisce a 2,5 m da A, inclinato di 60° rispetto all’orizzontale, e un carico verticale Q agisce a 1,5 m da A. Trova il modulo della reazione totale R_A nella cerniera A.

L = 4 mP = 25 kN in 2,5 m, θ = 60°Q = 15 kN in 1,5 m

R_A = kN

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 5 maltezza = 3 mB è a 1 m da Acarico verticale = 10 kN

F_AC = kN

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

B: 15 kN ↓G: 25 kN ↓H: 20 kN ←

1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta BG
13asta DG

7.Telai e macchineMedia

Nel morsetto a ginocchiera mostrato, due bielle uguali AB e BC sono incernierate in B, e ciascuna forma un angolo di 20° con la retta AC. Una forza verso il basso di 400 N è applicata in B. Il cursore C preme su un pezzo. Trascurando attrito e pesi, trova la forza di serraggio orizzontale Q.

F = 400 Nθ = 20°

Q = N

8.Telai e macchineDifficile

Il telaio mostrato ha cerniere in A, B e C; A e C sono fissate al suolo a 3 m di distanza, e B è alta 2,5 m e 1,35 m a destra di A. L’elemento AB porta un carico verticale di 15 kN in K, a 0,81 m (in orizzontale) da A, e un carico orizzontale di 5 kN verso destra agisce in B sull’elemento AB. Trova il modulo della reazione orizzontale A_x in A.

P = 15 kNQ = 5 kNL = 3 mH = 2,5 mdistanza orizzontale da A a B = 1,35 mdistanza orizzontale da A a K = 0,81 m

A_x = kN

9.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 2,5 m da A. Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 1,5 m dall’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 2,5 mP = 10 kN in 2,5 mw = 10 kN/m da 0 a 2,5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

10.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova la distanza x₀ da A alla sezione in cui il momento flettente è massimo.

L = 10 mw = 20 kN/m da 2 a 10 m

x₀ = m

11.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 20 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mmM = 20 kN·m

σ_{in alto} = MPa

3Soluzioni

1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: W = −280 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Spostamento

d = B − A = (5, 4, 0) − (−2, −3, 5) = (7, 7, −5) m

Lavoro

W = F·d = (−25)·7 + (−15)·7 + 0·(−5) = −280 J

Risposta

W = −280 J

Lavoro negativo: la forza agisce per lo più contro il moto.

2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: M_y = 140 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vettore posizione da O ad A

r = A − O = (−3, −1, 0) − (−2, 1, 2) = (−1, −2, −2) m

Momento M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−2)·40 − (−2)·10 = −60 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−2)·(−50) − (−1)·40 = 140 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−1)·10 − (−2)·(−50) = −110 N·m

Componente richiesta

M_y = 140 N·m

Risposta

M_y = 140 N·m

3.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_B = 20 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Risultante del carico triangolare

W = ½·12·10 = 60 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·3,333

R_B = 20 kN

R_A = 60 − 20 = 40 kN

Risposta

R_B = 20 kN

4.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 21,5 kN

Componenti di P

P_v = 25·sin 60° = 21,65 kN

P_h = 25·cos 60° = 12,5 kN

Reazioni

ΣM_A = 0: R_B·4 = 21,65·2,5 + 15·1,5 → R_B = 19,16 kN

A_y = 21,65 + 15 − 19,16 = 17,49 kN

A_x = P_h = 12,5 kN

Risultante in A

R_A = √(12,5² + 17,49²) = 21,5 kN

Risposta

R_A = 21,5 kN

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AC = 2,667 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·1 → C_y = 2 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 2 = 8 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −2/0,6 = −3,333 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−3,333)·0,8 = 2,667 kN

Risposta

F_AC = 2,667 kN (trazione)

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta CG

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo C

BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 8,75 kN (T), BC: 22,5 kN (T), CD: 22,5 kN (T), DE: 11,25 kN (T), FG: 28,75 kN (C), GH: 31,25 kN (C), AF: 40,66 kN (C), HE: 15,91 kN (C), BF: 28,75 kN (T), CG: 0, DH: 11,25 kN (T), BG: 19,45 kN (C), DG: 15,91 kN (C)

Risposta

Asta scarica: CG

7.Telai e macchine

Risposta: Q = 549,5 N

Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e F_in·a = F_out·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).

Equilibrio della cerniera B

2·F_link·sin 20° = 400

F_link = 584,8 N

Forza di serraggio

Q = F_link·cos 20° = 400/(2·tan 20°) = 549,5 N

Risposta

Q = 549,5 N

Il rapporto tra le forze Q/F = 1,374 cresce senza limite quando le bielle si raddrizzano.

8.Telai e macchine

Risposta: A_x = 0,423 kN

Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.

Direzione di BC

BC = 2,995 m, cos = 0,5508, sin = 0,8346

Telaio completo: momenti rispetto ad A

F_BC·0,8346·3 = 15·0,81 + 5·2,5

F_BC = 9,845 kN

Equilibrio orizzontale

A_x + 5 − 9,845·0,5508 = 0

A_x = 0,423 kN → |A_x| = 0,423 kN

Risposta

A_x = 0,423 kN

A_x punta verso destra.

9.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = −15 kN·m

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −10·1 = −10 kN·m

w: −10·1²/2 = −5 kN·m

M_x = −10 − 5 = −15 kN·m

Risposta

M_x = −15 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

10.Taglio e momento flettente

Risposta: x₀ = 5,2 m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 20·8 = 160 kN, applicata in x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·8·6

R_B = 960/10 = 96 kN

ΣF_y = 0: R_A = 160 − 96 = 64 kN

Taglio nullo

Il taglio parte da R_A, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 64/20 = 5,2 m

Risposta

x₀ = 5,2 m

11.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 13,59 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167,5 mm

anima: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·167,5 + 2560·80)/4360 = 116,1 mm

Teorema del trasporto

ala: 120·15³/12 + 1800·(167,5 − 116,1)² = 4,785 × 10⁶ mm⁴

anima: 16·160³/12 + 2560·(80 − 116,1)² = 8,802 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,785 × 10⁶ + 8,802 × 10⁶ = 1,359 × 10⁷ mm⁴ = 13,59 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 13,59 × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 42,74 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

anima: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·305 + 4200·150)/5600 = 188,8 mm

Teorema del trasporto

ala: 140·10³/12 + 1400·(305 − 188,8)² = 1,893 × 10⁷ mm⁴

anima: 14·300³/12 + 4200·(150 − 188,8)² = 3,781 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,893 × 10⁷ + 3,781 × 10⁷ = 5,674 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 310 − 188,8 = 121,3 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·121,3/5,674 × 10⁷ = 42,74 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 42,74 MPa

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