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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Trova la proiezione scalare compb a di a = (−1, 4, 6) su b = (0, −4, 6), cioè la componente di a nella direzione di b.
a = (−1, 4, 6)b = (0, −4, 6)
compb a =
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Una forza F = (−10, −40, −30) N agisce nel punto A(−2, 2, −4). Le coordinate sono in metri. Trova la componente z Mz del momento della forza rispetto a il punto O(0, 3, 0).
F = (−10, −40, −30) NA(−2, 2, −4) mO(0, 3, 0) m
Mz = N·m
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RA.
L = 8 mP1 = 35 kN in 4 mP2 = 55 kN in 5 m
RA = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
Una trave composta è incastrata alla parete in A, ha una cerniera interna in C (a 2,5 m da A) e poggia su un carrello in D (a 6 m da A). Porta un carico concentrato P a 3,5 m da A. Trova la reazione RD al carrello.
AC = 2,5 mAD = 6 mP = 25 kN in 3,5 m
RD = kN
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FBC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 6 maltezza = 4 mB è a 5 m da Acarico verticale = 25 kN
FBC = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 5 maltezza = 2 mB è a 3 m da Acarico verticale = 25 kNcarico orizzontale = 5 kN ←
FAB = kN
7.Telai e macchineMedia
Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 4 m. Le gambe si incontrano nella cerniera C, alta 3,6 m, e il tirante orizzontale DE è a 0,8 m dal suolo. Un carico di 20 kN agisce in C. Trova il modulo della forza C che la cerniera C esercita sulla gamba BC.
P = 20 kNAB = 4 maltezza di C = 3,6 maltezza di DE = 0,8 m
C = kN
8.Telai e macchineDifficile
Un braccio orizzontale uniforme AB di peso 3 kN è incernierato a una parete in A e sostenuto da un cavo da B al punto C sulla parete, 2,5 m sopra A. Un carico di 6 kN è appeso in B. Trova il modulo della reazione sulla cerniera A.
W = 6 kNWb = 3 kNAB = 2 mAC = 2,5 m
A = kN
9.Taglio e momento flettenteMedia
La trave poggia su una cerniera in A e su un carrello in B e sporge a sbalzo oltre B di 1 m fino all’estremo libero C. Porta un carico concentrato P1 tra gli appoggi e un carico concentrato P2 in C. Trova il momento flettente Mx sotto il carico P1. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 9 mP1 = 35 kN in 1 mP2 = 25 kN in 9 mappoggi in x = 0 e x = 8 m
Mx = kN·m
10.Taglio e momento flettenteDifficile
Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 6 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 10 mP = 60 kN in 6 mw = 3 kN/m da 0 a 10 mx = 6 m
Mx = kN·m
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Una sezione rettangolare cava (scatolare) ha larghezza esterna B = 180 mm, altezza esterna H = 250 mm e spessore di parete uniforme t = 6 mm. Trova il suo raggio d’inerzia r rispetto all’asse baricentrico orizzontale.
B = 180 mmH = 250 mmt = 6 mm
r = mm
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 60 MPa a trazione e 100 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente negativo Mallow che la trave può sopportare (indicane il valore assoluto).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Prodotto scalare
a·b = (−1)·0 + 4·(−4) + 6·6 = 20
Lunghezza di b
|b| = √(0² + (−4)² + 6²) = 7,211
Proiezione scalare
compb a = a·b/|b| = 20/7,211 = 2,774
Risposta
compb a = 2,774
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: Mz = 70 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vettore posizione da O ad A
r = A − O = (−2, 2, −4) − (0, 3, 0) = (−2, −1, −4) m
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
ΣMA = 0: RB·8 = 35·4 + 55·5
RB = 415/8 = 51,88 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 51,88 = 38,13 kN
Risposta
RA = 38,13 kN
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RD = 7,143 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio. Una cerniera interna non può trasmettere momento flettente, il che fornisce un’equazione in più: il momento rispetto alla cerniera delle forze su ciascun lato è nullo.
Tratto CD
La cerniera non trasmette momento, quindi i momenti rispetto a C sul solo tratto CD devono equilibrarsi.
ΣMC = 0: RD·3,5 = 25·1
RD = 7,143 kN
VC = 25 − 7,143 = 17,86 kN
Risposta
RD = 7,143 kN
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: FBC = −21,47 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·6 = 25·5 → Cy = 20,83 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 20,83 = 4,167 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·5 = 25·3 − 5·2 → Cy = 13 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 13 = 12 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
Nodo A
Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.
sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −12/0,5547 = −21,63 kN
Risposta
FAB = −21,63 kN (compressione)
7.Telai e macchine
Risposta: C = 12,29 kN
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Forza nel tirante dalla gamba BC
By = 10 kN
T = 10·2/2,8 = 7,143 kN
Componenti della forza sulla cerniera di BC
Cx = T = 7,143 kN, Cy = −By = −10 kN
Modulo
C = √(7,143² + 10²) = 12,29 kN
Risposta
C = 12,29 kN
8.Telai e macchine
Risposta: A = 6,185 kN
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Tensione nel cavo
T = (6 + 3/2)/0,7809 = 9,605 kN
Componenti in A
Ax = T·cos β = 6 kN
Ay = 6 + 3 − T·sin β = 1,5 kN
Modulo
A = √(6² + 1,5²) = 6,185 kN
Risposta
A = 6,185 kN
9.Taglio e momento flettente
Risposta: Mx = 27,5 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave. Anche il carico sullo sbalzo dà momento rispetto ad A.
ΣMA = 0: RB·8 = 35·1 + 25·9
RB = 260/8 = 32,5 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 32,5 = 27,5 kN
Taglia sotto P1 e tieni la parte sinistra
Mx = RA·1 = 27,5·1 = 27,5 kN·m
Risposta
Mx = 27,5 kN·m
10.Taglio e momento flettente
Risposta: Mx = 180 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, applicata in x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·6 + 3·10·5
RB = 510/10 = 51 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 51 = 39 kN
Taglia in x = 6 m e tieni la parte sinistra
Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.
M = RA·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)
Mx = 39·6 − 3·6·3 = 180 kN·m
Risposta
Mx = 180 kN·m
11.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: r = 95,39 mm
Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = Ic + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna. Il raggio d’inerzia r = √(I/A) è la distanza alla quale l’intera area darebbe lo stesso I; si usa nell’instabilità a carico di punta dei pilastri.
Area netta e momento d’inerzia netto
b = 168 mm, h = 238 mm
A = BH − bh = 180·250 − 168·238 = 5016 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 4,564 × 10⁷ mm⁴
Raggio d’inerzia
r = √(I/A) = √(4,564 × 10⁷/5016) = 95,39 mm
Risposta
r = 95,39 mm
12.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: Mallow = 32,86 kN·m
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.