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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Trova il prodotto scalare a·b di a = (−3, −4, 2) e b = (6, 2, −7).
a = (−3, −4, 2)b = (6, 2, −7)
a·b =
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Il versore n̂ è perpendicolare sia a a = (1, 3, 0) sia a b = (4, −2, −3) e ha componente z positiva. Trova la sua componente x n̂x.
a = (1, 3, 0)b = (4, −2, −3)n̂z > 0
n̂x =
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
L = 8 mP1 = 50 kN in 2 mP2 = 20 kN in 3 m
RB = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RA.
L = 8 mP = 60 kN in 2 mw = 3 kN/m da 6 a 7 m
RA = kN
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
D: 40 kN ↓
1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta BG
13asta DG
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 5 maltezza = 4 mB è a 3 m da Acarico verticale = 15 kNcarico orizzontale = 5 kN →
FAC = kN
7.Telai e macchineMedia
Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 3,2 m. Le gambe si incontrano nella cerniera C, alta 2,5 m, e il tirante orizzontale DE è a 1 m dal suolo. Un carico di 5 kN agisce in C. Trova il modulo della forza C che la cerniera C esercita sulla gamba BC.
P = 5 kNAB = 3,2 maltezza di C = 2,5 maltezza di DE = 1 m
C = kN
8.Telai e macchineDifficile
Un braccio orizzontale uniforme AB di peso 1,5 kN è incernierato a una parete in A e sostenuto da un cavo dall’estremità B al punto C sulla parete, 4 m sopra A. Un carico di 8 kN è appeso in B. Trova la tensione T nel cavo.
W = 8 kNWb = 1,5 kNAB = 4 mAC = 4 m
T = kN
9.Taglio e momento flettenteMedia
La trave semplicemente appoggiata porta una coppia oraria M0 = 50 kN·m in x = 2 m da A, e nessun altro carico. Trova il momento flettente Mx immediatamente a destra della coppia. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 10 mM0 = 50 kN·m orario, in 2 m
Mx = kN·m
10.Taglio e momento flettenteDifficile
Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 3 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 5 mP = 40 kN in 3 mw = 5 kN/m da 0 a 5 mx = 3 m
Mx = kN·m
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Una piastra di 150 mm × 200 mm ha un foro circolare di diametro 40 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 140 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia Ix rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.
b = 150 mmh = 200 mmd = 40 mmcentro del foro: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
Una piastra di 200 mm × 300 mm ha un intaglio rettangolare largo 30 mm e alto 20 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 90 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia Ix rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.
b = 200 mmh = 300 mmintaglio: 30 × 20 mmcentro del foro: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Soluzioni
1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: a·b = −40
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Negativo: l’angolo tra i vettori è maggiore di 90°.
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: n̂x = 0,5322
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Prodotto vettoriale
(a × b)x = aybz − azby = 3·(−3) − 0·(−2) = −9
(a × b)y = azbx − axbz = 0·4 − 1·(−3) = 3
(a × b)z = axby − aybx = 1·(−2) − 3·4 = −14
Normalizza
La componente z di a × b è negativa, quindi usa −(a × b).
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
ΣMA = 0: RB·8 = 50·2 + 20·3
RB = 160/8 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 20 = 50 kN
Risposta
RB = 20 kN
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RA = 45,56 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN, applicata in x̄ = 6,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 60·2 + 3·1·6,5
RB = 139,5/8 = 17,44 kN
ΣFy = 0: RA = 63 − 17,44 = 45,56 kN
Risposta
RA = 45,56 kN
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: asta CG
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
Nodo C
BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Verifica con il metodo dei nodi
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·5 = 15·3 + 5·4 → Cy = 13 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 13 = 2 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Forza nel tirante dalla gamba BC
By = 2,5 kN
T = 2,5·1,6/1,5 = 2,667 kN
Componenti della forza sulla cerniera di BC
Cx = T = 2,667 kN, Cy = −By = −2,5 kN
Modulo
C = √(2,667² + 2,5²) = 3,655 kN
Risposta
C = 3,655 kN
8.Telai e macchine
Risposta: T = 12,37 kN
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Angolo del cavo
BC = √(4² + 4²) = 5,657 m, sin β = 0,7071
Momenti rispetto ad A
T·0,7071·4 = 8·4 + 1,5·2
T = 12,37 kN
Risposta
T = 12,37 kN
9.Taglio e momento flettente
Risposta: Mx = 40 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Una coppia applicata fa saltare il diagramma del momento flettente di un valore pari alla coppia.
Reazioni vincolari
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario: RB·L − M0 = 0. Equilibrio verticale: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 50/10 = 5 kN (verso l’alto)
RA = −RB = −5 kN (verso il basso)
Taglia immediatamente a destra della coppia
Ora la parte sinistra contiene RA e la coppia.
Mx = RA·a + M0 = −5·2 + 50 = 40 kN·m
Risposta
Mx = 40 kN·m
10.Taglio e momento flettente
Risposta: Mx = 63 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, applicata in x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 40·3 + 5·5·2,5
RB = 182,5/5 = 36,5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 36,5 = 28,5 kN
Taglia in x = 3 m e tieni la parte sinistra
Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.
M = RA·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)
Mx = 28,5·3 − 5·3·1,5 = 63 kN·m
Risposta
Mx = 63 kN·m
11.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: Ix = 97,78 × 10⁶ mm⁴
Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha Ic = bh³/12 e un cerchio Ic = πd⁴/64.
Baricentro
ȳ = (30000·100 − 1257·140)/(30000 − 1257) = 98,25 mm
Piastra piena rispetto a ȳ
150·200³/12 + 30000·1,749² = 100,1 × 10⁶ mm⁴
Foro rispetto a ȳ
π·40⁴/64 + 1257·41,75² = 2,316 × 10⁶ mm⁴
Sottrai
Ix = 97,78 × 10⁶ mm⁴
Risposta
Ix = 97,78 × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: Ix = 447,8 × 10⁶ mm⁴
Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha Ic = bh³/12 e un cerchio Ic = πd⁴/64.