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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Trova l’angolo θ tra i vettori a = (4, 5, −4) e b = (5, 0, −5), in gradi.
a = (4, 5, −4)b = (5, 0, −5)
θ = °
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Una forza F = (−30, 0, −10) N agisce nel punto A(0, 4, −4). Le coordinate sono in metri. Trova la componente z Mz del momento della forza rispetto a il punto O(−1, 3, 1).
F = (−30, 0, −10) NA(0, 4, −4) mO(−1, 3, 1) m
Mz = N·m
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
L = 6 mP1 = 20 kN in 1,5 mP2 = 35 kN in 3 m
RB = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
L = 6 mP = 35 kN in 3 mw = 4 kN/m da 2 a 5 m
RB = kN
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FBC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 6 maltezza = 2 mB è a 2 m da Acarico verticale = 20 kN
FBC = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
B: 10 kN ↓H: 40 kN ←
1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta BG
13asta DG
7.Telai e macchineMedia
Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 3,2 m. Le gambe si incontrano nella cerniera C, alta 4,5 m, e il tirante orizzontale DE è a 1 m dal suolo. Un carico di 2 kN agisce in C. Trova il modulo della forza C che la cerniera C esercita sulla gamba BC.
P = 2 kNAB = 3,2 maltezza di C = 4,5 maltezza di DE = 1 m
C = kN
8.Telai e macchineDifficile
Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 2,4 m, con la cerniera al vertice C alta 3,6 m e il tirante orizzontale DE a 2 m dal suolo. Un carico verticale di 12 kN agisce sulla gamba AC in K, a 0,3 m (in orizzontale) da A. Trova il modulo della forza C che la cerniera C esercita sulla gamba BC.
P = 12 kNAB = 2,4 maltezza di C = 3,6 maltezza di DE = 2 mdistanza orizzontale da A a K = 0,3 m
C = kN
9.Taglio e momento flettenteMedia
La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 1 m da A. Trova il momento flettente MA all’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 4 mP = 15 kN in 1 mw = 6 kN/m da 0 a 4 m
MA = kN·m
10.Taglio e momento flettenteDifficile
La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.
L = 4 mP = 80 kN in 3 mw = 8 kN/m da 0 a 4 m
Mmax = kN·m
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Trova il momento d’inerzia Ix della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.
bf = 200 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 30 MPa a trazione e 100 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente negativo Mallow che la trave può sopportare (indicane il valore assoluto).
Prodotto scalare:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, uno scalare. Fornisce l’angolo tra due vettori, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ed è nullo quando i vettori sono perpendicolari. La proiezione scalare di a su b è a·b/|b|, e una forza costante F che compie uno spostamento d esegue il lavoro W = F·d.
Prodotto scalare
a·b = 4·5 + 5·0 + (−4)·(−5) = 40
Moduli
|a| = √(4² + 5² + (−4)²) = 7,55
|b| = √(5² + 0² + (−5)²) = 7,071
Angolo
cos θ = 40/(7,55·7,071) = 0,7493
θ = arccos(0,7493) = 41,47°
Risposta
θ = 41,47°
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: Mz = 30 N·m
Prodotto vettoriale:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) è perpendicolare a entrambi i vettori, e |a × b| = |a|·|b|·sin θ è l’area del parallelogramma che essi generano (il triangolo ne ha la metà). L’ordine conta: b × a = −(a × b). Il momento di una forza F applicata nel punto A rispetto al punto O è MO = r × F, con r = A − O.
Vettore posizione da O ad A
r = A − O = (0, 4, −4) − (−1, 3, 1) = (1, 1, −5) m
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
ΣMA = 0: RB·6 = 20·1,5 + 35·3
RB = 135/6 = 22,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 22,5 = 32,5 kN
Risposta
RB = 22,5 kN
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RB = 24,5 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN, applicata in x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 35·3 + 4·3·3,5
RB = 147/6 = 24,5 kN
ΣFy = 0: RA = 47 − 24,5 = 22,5 kN
Risposta
RB = 24,5 kN
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: FBC = −14,91 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·6 = 20·2 → Cy = 6,667 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 6,667 = 13,33 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
Nodo C
BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Verifica con il metodo dei nodi
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Forza nel tirante dalla gamba BC
By = 1 kN
T = 1·1,6/3,5 = 0,4571 kN
Componenti della forza sulla cerniera di BC
Cx = T = 0,4571 kN, Cy = −By = −1 kN
Modulo
C = √(0,4571² + 1²) = 1,1 kN
Risposta
C = 1,1 kN
8.Telai e macchine
Risposta: C = 1,875 kN
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Reazione vincolare in B
By = 12·0,3/2,4 = 1,5 kN
Forza nel tirante
T = 1,5·1,2/1,6 = 1,125 kN
Forza sulla cerniera di BC
Cx = 1,125 kN, Cy = −1,5 kN
C = √(1,125² + 1,5²) = 1,875 kN
Risposta
C = 1,875 kN
9.Taglio e momento flettente
Risposta: MA = −63 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Tieni la parte dell’estremo libero
P: −15·1 = −15 kN·m
w: −6·4²/2 = −48 kN·m
MA = −15 − 48 = −63 kN·m
Risposta
MA = −63 kN·m
Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.
10.Taglio e momento flettente
Risposta: Mmax = 72 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, applicata in x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 80·3 + 8·4·2
RB = 304/4 = 76 kN
ΣFy = 0: RA = 112 − 76 = 36 kN
Dove è V = 0?
V(3⁻) = RA − w·3 = 12 kN
V(3⁺) = 12 − 80 = −68 kN
Il taglio cambia segno in corrispondenza del carico, quindi il massimo è sotto il carico.
Momento massimo
Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 36·3 − 8·3²/2 = 72 kN·m
Risposta
Mmax = 72 kN·m
Si trova in x = 3 m da A.
11.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: Ix = 44,05 × 10⁶ mm⁴
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in due rettangoli
Misura ogni y dal bordo inferiore.
ala: Af = 200·10 = 2000 mm², yf = 260 + 10/2 = 265 mm
anima: Aw = 14·260 = 3640 mm², yw = 260/2 = 130 mm
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.