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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Modulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Versore: û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b: a·b/|b|
Lavoro: W = F·d
Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aree: parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo: V = |a·(b × c)|

Metodo

Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Telai e macchine

Equilibrio di ogni elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Asta a due forze: forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera: uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera: F = √(F_x² + F_y²)
Leva, pinza, leva a squadra: F_in·a = F_out·b
Ginocchiera: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico

Metodo

Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Esercizi

1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia

Trova il valore di k per cui i vettori a = (0, −2, −3) e b = (−2, k, 5) sono perpendicolari.

a = (0, −2, −3)b = (−2, k, 5)

k =

2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile

Per a = (6, −2, −4) e b = (−3, −2, −1), trova la componente x (a × b)_x del prodotto vettoriale a × b.

a = (6, −2, −4)b = (−3, −2, −1)

(a × b)_x =

3.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave semplicemente appoggiata (cerniera in A, carrello in B) porta un carico linearmente variabile che decresce da 6 kN/m in A fino a zero in B. Agisce anche un carico concentrato P a 3 m da A. Trova la reazione vincolare verticale R_B.

L = 5 mw₀ = 6 kN/mP = 40 kN in 3 m

R_B = kN

4.Reazioni vincolari delle traviDifficile

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale R_B.

L = 8 mP = 40 kN in 3 mw = 10 kN/m da 4 a 5 m

R_B = kN

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 4 maltezza = 3 mB è a 3 m da Acarico verticale = 50 kN

F_AB = kN

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_BC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 6 maltezza = 3 mB è a 4 m da Acarico verticale = 20 kNcarico orizzontale = 15 kN →

F_BC = kN

7.Telai e macchineMedia

Una trave orizzontale AB è incernierata a una parete in A e sostenuta dal puntone CD, incernierato alla parete in C, 1 m sotto A. Un carico di 15 kN è appeso in B. Trascura i pesi. Trova il modulo della forza A sulla cerniera della trave in A.

P = 15 kNAD = 1,6 mAB = 2 mAC = 1 m

A = kN

8.Telai e macchineDifficile

Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 3,2 m. Le gambe si incontrano nella cerniera C, alta 2,4 m, e sono legate dall’asta orizzontale DE a 0,8 m. Una forza orizzontale di 20 kN verso destra agisce in C. Trova la tensione T nel tirante.

P = 20 kNAB = 3,2 maltezza di C = 2,4 maltezza di DE = 0,8 m

T = kN

9.Taglio e momento flettenteMedia

La trave poggia su una cerniera in A e su un carrello in B e sporge a sbalzo oltre B di 1 m fino all’estremo libero C. Porta un carico concentrato P₁ tra gli appoggi e un carico concentrato P₂ in C. Trova il momento flettente M_B all’appoggio B. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mP₁ = 75 kN in 3 mP₂ = 45 kN in 6 mappoggi in x = 0 e x = 5 m

M_B = kN·m

10.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mP = 20 kN in 3 mw = 3 kN/m da 0 a 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

11.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 180 mm con due ali verticali, alta 160 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 8 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 180 mmh = 160 mmt = 8 mm

ȳ = mm

12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 30 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mmM = 30 kN·m

σ_{in alto} = MPa

3Soluzioni

1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: k = −7,5

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Il prodotto scalare è uguale a zero

a·b = 0·(−2) + (−2)·k + (−3)·5 = 0

−15 + (−2)·k = 0

Risolvi per k

k = −(−15)/(−2) = −7,5

Risposta

k = −7,5

2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: (a × b)_x = −6

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Prodotto vettoriale, componente per componente

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·(−1) − (−4)·(−2) = −6

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·(−3) − 6·(−1) = 18

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 6·(−2) − (−2)·(−3) = −18

Componente richiesta

(a × b)_x = −6

Risposta

(a × b)_x = −6

Controllo: a × b è perpendicolare a entrambi i vettori, quindi il suo prodotto scalare con a e con b è nullo.

3.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_B = 29 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Risultante del carico triangolare

W = ½·6·5 = 15 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·1,667 + 40·3

R_B = 29 kN

R_A = 55 − 29 = 26 kN

Risposta

R_B = 29 kN

4.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_B = 20,63 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, applicata in x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·3 + 10·1·4,5

R_B = 165/8 = 20,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 20,63 = 29,38 kN

Risposta

R_B = 20,63 kN

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AB = −17,68 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·3 → C_y = 37,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 37,5 = 12,5 kN

Nodo A

Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −12,5/0,7071 = −17,68 kN

Risposta

F_AB = −17,68 kN (compressione)

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_BC = −25,04 kN

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·4 + 15·3 → C_y = 20,83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 20,83 = −0,8333 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20,83/0,8321 = −25,04 kN

Risposta

F_BC = −25,04 kN (compressione)

7.Telai e macchine

Risposta: A = 30,23 kN

Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.

Forza nel puntone

F_CD = 15·2/(0,53·1,6) = 35,38 kN

Componenti in A

A_x = F_CD·cos α = 30 kN (verso la parete)

A_y = 15 − F_CD·sin α = −3,75 kN

Modulo

A = √(30² + −3,75²) = 30,23 kN

Risposta

A = 30,23 kN

Un A_y negativo significa che la parete tira la trave verso il basso in A.

8.Telai e macchine

Risposta: T = 15 kN

Telaio completo: momenti rispetto ad A

B_y·3,2 = 20·2,4

B_y = 15 kN

Gamba BC: momenti rispetto a C

15·1,6 = T·1,6

T = 15 kN

Risposta

T = 15 kN

Una T positiva significa che il tirante è teso, come supposto.

9.Taglio e momento flettente

Risposta: M_B = −45 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave. Anche il carico sullo sbalzo dà momento rispetto ad A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 75·3 + 45·6

R_B = 495/5 = 99 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 99 = 21 kN

Taglia in B e tieni lo sbalzo

Sullo sbalzo agisce solo P₂, con braccio a. Inflette la trave verso l’alto sopra l’appoggio (momento negativo).

M_B = −P₂·a = −45·1 = −45 kN·m

Risposta

M_B = −45 kN·m

10.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 60 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·3 + 3·8·4

R_B = 156/8 = 19,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 19,5 = 24,5 kN

Taglia in x = 3 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 24,5·3 − 3·3·1,5 = 60 kN·m

Risposta

M_x = 60 kN·m

11.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 54,25 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 180·8 = 1440 mm², y₁ = 4 mm

due ali: A₂ = 2·8·152 = 2432 mm², y₂ = 8 + 152/2 = 84 mm

Baricentro

ȳ = (1440·4 + 2432·84)/3872 = 54,25 mm

Risposta

ȳ = 54,25 mm

12.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 32,06 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

anima: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·287,5 + 3920·140)/8420 = 218,8 mm

Teorema del trasporto

ala: 300·15³/12 + 4500·(287,5 − 218,8)² = 2,13 × 10⁷ mm⁴

anima: 14·280³/12 + 3920·(140 − 218,8)² = 4,997 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,13 × 10⁷ + 4,997 × 10⁷ = 7,127 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 295 − 218,8 = 76,17 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·76,17/7,127 × 10⁷ = 32,06 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 32,06 MPa

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