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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Trova il prodotto scalare a·b di a = (−2, 2, −3) e b = (5, −5, 7).
a = (−2, 2, −3)b = (5, −5, 7)
a·b =
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Trova l’area A del triangolo con vertici A(2, −3, 4), B(−2, −3, 3) e C(−1, 0, −4). Le coordinate sono in metri.
A(2, −3, 4)B(−2, −3, 3)C(−1, 0, −4)
A = m²
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RA.
L = 6 mP1 = 40 kN in 4 mP2 = 20 kN in 4,5 m
RA = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
L = 10 mP = 50 kN in 6 mw = 12 kN/m da 7 a 10 m
RB = kN
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FBC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 8 maltezza = 4 mB è a 1 m da Acarico verticale = 40 kN
FBC = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FBC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 5 maltezza = 3 mB è a 4 m da Acarico verticale = 45 kNcarico orizzontale = 15 kN →
FBC = kN
7.Telai e macchineMedia
Il telaio mostrato ha cerniere in A, B e C; A e C sono fissate al suolo a 4 m di distanza, e B è 3 m sopra il suolo e 1,2 m a destra di A. Un carico verticale di 4 kN agisce sull’elemento AB in K, a 0,3 m (in orizzontale) da A. Trova la forza FBC nell’elemento BC.
P = 4 kNL = 4 mH = 3 mdistanza orizzontale da A a B = 1,2 mdistanza orizzontale da A a K = 0,3 m
FBC = kN
8.Telai e macchineDifficile
La trave AB della mensola a muro mostrata è incernierata in A e sostenuta dal puntone CD (C è 1,2 m sotto A). La trave porta un carico uniforme di 1,5 kN/m su tutta la lunghezza e un carico concentrato di 10 kN all’estremità libera B. Trova la forza FCD nel puntone.
w = 1,5 kN/mP = 10 kNAD = 1,6 mAB = 3,6 mAC = 1,2 m
FCD = kN
9.Taglio e momento flettenteMedia
La trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.
L = 10 mP1 = 20 kN in 1 mP2 = 35 kN in 9 m
Mmax = kN·m
10.Taglio e momento flettenteDifficile
La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova la distanza x0 da A alla sezione in cui il momento flettente è massimo.
L = 10 mw = 24 kN/m da 3 a 10 m
x0 = m
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Trova il momento d’inerzia Ix della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.
bf = 240 mmtf = 25 mmtw = 18 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
Una piastra di 150 mm × 240 mm ha un intaglio rettangolare largo 50 mm e alto 20 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 84 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia Ix rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.
b = 150 mmh = 240 mmintaglio: 50 × 20 mmcentro del foro: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Soluzioni
1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: a·b = −41
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Negativo: l’angolo tra i vettori è maggiore di 90°.
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: A = 15,76 m²
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
ΣMA = 0: RB·6 = 40·4 + 20·4,5
RB = 250/6 = 41,67 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 41,67 = 18,33 kN
Risposta
RA = 18,33 kN
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RB = 60,6 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, applicata in x̄ = 8,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 50·6 + 12·3·8,5
RB = 606/10 = 60,6 kN
ΣFy = 0: RA = 86 − 60,6 = 25,4 kN
Risposta
RB = 60,6 kN
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: FBC = −10,08 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·8 = 40·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 5 = 35 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 4/8,062 = 0,4961, cos γ = 7/8,062 = 0,8682
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·5 = 45·4 + 15·3 → Cy = 45 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 45 = 0 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Asta a due forze BC
BC = √(2,8² + 3²) = 4,104 m
Telaio completo: momenti rispetto ad A
Il suolo spinge su BC in C lungo CB; la sua componente orizzontale passa per A, solo quella verticale ha un momento.
FBC·(3/4,104)·4 = 4·0,3
FBC = 0,4104 kN (compressione)
Risposta
FBC = 0,4104 kN
8.Telai e macchine
Risposta: FCD = 47,63 kN
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Risultante del carico uniforme
w·L = 1,5·3,6 = 5,4 kN in 1,8 m
Momenti rispetto ad A per la trave
FCD·0,6·1,6 = 5,4·1,8 + 10·3,6 = 45,72 kN·m
FCD = 47,63 kN
Risposta
FCD = 47,63 kN
9.Taglio e momento flettente
Risposta: Mmax = 33,5 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
ΣMA = 0: RB·10 = 20·1 + 35·9
RB = 335/10 = 33,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 33,5 = 21,5 kN
Momento sotto ciascun carico
Tieni la parte a sinistra di ciascun carico.
sotto P1: M = RA·1 = 21,5·1 = 21,5 kN·m
sotto P2: M = RB·1 = 33,5·1 = 33,5 kN·m
Valore massimo
Mmax = 33,5 kN·m (sotto P2)
Risposta
Mmax = 33,5 kN·m
10.Taglio e momento flettente
Risposta: x0 = 5,45 m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 24·7 = 168 kN, applicata in x̄ = 6,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 24·7·6,5
RB = 1092/10 = 109,2 kN
ΣFy = 0: RA = 168 − 109,2 = 58,8 kN
Taglio nullo
Il taglio parte da RA, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.
RA − w·(x0 − 3) = 0
x0 = 3 + 58,8/24 = 5,45 m
Risposta
x0 = 5,45 m
11.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: Ix = 7,221 × 10⁶ mm⁴
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in due rettangoli
Misura ogni y dal bordo inferiore.
ala: Af = 240·25 = 6000 mm², yf = 100 + 25/2 = 112,5 mm
Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha Ic = bh³/12 e un cerchio Ic = πd⁴/64.