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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Trova la proiezione scalare compb a di a = (5, −6, −4) su b = (4, −1, 5), cioè la componente di a nella direzione di b.
a = (5, −6, −4)b = (4, −1, 5)
compb a =
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Il versore n̂ è perpendicolare sia a a = (2, 2, −4) sia a b = (5, −2, −2) e ha componente z positiva. Trova la sua componente y n̂y.
a = (2, 2, −4)b = (5, −2, −2)n̂z > 0
n̂y =
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave ha una cerniera in A e un carrello in B, a 8 m da A, e sporge a sbalzo oltre B fino all’estremo libero C. Trova la reazione verticale RB, considerando positivo il verso verso l’alto.
AB = 8 mAC = 10 mP1 = 65 kN in 3 mP2 = 25 kN in 10 m
RB = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico linearmente variabile che è nullo alla parete e cresce fino a 8 kN/m all’estremo libero B, più un carico concentrato P a 5 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione MA alla parete.
L = 5 mw0 = 8 kN/mP = 25 kN in 5 m
MA = kN·m
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FBC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 4 maltezza = 2 mB è a 1 m da Acarico verticale = 30 kN
FBC = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
La leva a squadra mostrata ruota attorno al perno O. Una forza verticale di 100 N in A (240 mm da O) è equilibrata da una forza orizzontale in B (120 mm sopra O). Trova il modulo della reazione sul perno FO.
F = 100 NOA = 240 mmOB = 120 mm
FO = N
8.Telai e macchineDifficile
Una pressa a ginocchiera ha due bielle uguali AB e BC, ciascuna lunga 120 mm tra le cerniere. Il giunto B sta 12 mm sopra la retta AC. Quale forza verso il basso F in B produce una forza di pressione orizzontale di 3000 N sul cursore C? Trascura attrito e pesi.
Q = 3000 NAB = BC = 120 mmh = 12 mm
F = N
9.Taglio e momento flettenteMedia
La trave semplicemente appoggiata porta una coppia oraria M0 = 30 kN·m in x = 3 m da A, e nessun altro carico. Trova il momento flettente Mx immediatamente a destra della coppia. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 4 mM0 = 30 kN·m orario, in 3 m
Mx = kN·m
10.Taglio e momento flettenteDifficile
I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.
10 kN @ 6 m40 kN @ 3 m6 kN/m, 0–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Trova il momento d’inerzia Ix della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.
bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 8 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 60 MPa a trazione e 90 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente negativo Mallow che la trave può sopportare (indicane il valore assoluto).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Prodotto scalare
a·b = 5·4 + (−6)·(−1) + (−4)·5 = 6
Lunghezza di b
|b| = √(4² + (−1)² + 5²) = 6,481
Proiezione scalare
compb a = a·b/|b| = 6/6,481 = 0,9258
Risposta
compb a = 0,9258
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: n̂y = 0,6554
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Prodotto vettoriale
(a × b)x = aybz − azby = 2·(−2) − (−4)·(−2) = −12
(a × b)y = azbx − axbz = (−4)·5 − 2·(−2) = −16
(a × b)z = axby − aybx = 2·(−2) − 2·5 = −14
Normalizza
La componente z di a × b è negativa, quindi usa −(a × b).
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.
Momenti rispetto ad A
Positivo in senso antiorario.
ΣMA = 0: RB·8 = 65·3 + 25·10
RB = 445/8 = 55,63 kN
Equilibrio verticale
RA = 65 + 25 − 55,63 = 34,38 kN
Risposta
RB = 55,63 kN
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: MA = 191,7 kN·m
Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale RA e un momento di reazione MA. ΣFy = 0 dà RA, e i momenti rispetto alla parete danno MA = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.
Risultante del carico triangolare
W = ½·8·5 = 20 kN
x̄ = 2L/3 = 3,333 m
Momento rispetto alla parete
MA = W·x̄ + P·a = 20·3,333 + 25·5 = 191,7 kN·m
Risposta
MA = 191,7 kN·m
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: FBC = −13,52 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·4 = 30·1 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 7,5 = 22,5 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
Nodo D
CD e DE stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Verifica con il metodo dei nodi
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e Fin·a = Fout·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).
Forza in B
Q = 100·240/120 = 200 N
Reazione sul perno
Ox = 200 N, Oy = 100 N
FO = √(200² + 100²) = 223,6 N
Risposta
FO = 223,6 N
8.Telai e macchine
Risposta: F = 603 N
Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e Fin·a = Fout·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).
Angolo della biella
sin θ = 12/120 = 0,1, θ = 5,739°
Forza nella biella
Flink = Q/cos θ = 3015 N
Forza in B
F = 2·Flink·sin θ = 2·3000·tan θ = 603 N
Risposta
F = 603 N
9.Taglio e momento flettente
Risposta: Mx = 7,5 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Una coppia applicata fa saltare il diagramma del momento flettente di un valore pari alla coppia.
Reazioni vincolari
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario: RB·L − M0 = 0. Equilibrio verticale: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 30/4 = 7,5 kN (verso l’alto)
RA = −RB = −7,5 kN (verso il basso)
Taglia immediatamente a destra della coppia
Ora la parte sinistra contiene RA e la coppia.
Mx = RA·a + M0 = −7,5·3 + 30 = 7,5 kN·m
Risposta
Mx = 7,5 kN·m
10.Taglio e momento flettente
Risposta: D (x = 3 m)
Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.
Reazioni vincolari
Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.
R1 = 29 kN, R2 = 51 kN
Momento flettente in ogni punto
Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.
MA = 0, MB = 26, MC = 46, MD = 60 kN·m, ME = 28, MF = −10, MG = 0
Risposta
Punto D: MD = 60 kN·m
11.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: Ix = 13,62 × 10⁶ mm⁴
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in due rettangoli
Misura ogni y dal bordo inferiore.
ala: Af = 100·25 = 2500 mm², yf = 180 + 25/2 = 192,5 mm
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.