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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Una forza costante F = (−10, −5, −15) N agisce su un oggetto mentre si muove in linea retta dal punto A(0, 1, 4) al punto B(−4, −1, −1). Le coordinate sono in metri. Trova il lavoro W compiuto dalla forza.
F = (−10, −5, −15) NA(0, 1, 4) mB(−4, −1, −1) m
W = J
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Una forza F = (30, 50, 0) N agisce nel punto A(2, 2, 4). Le coordinate sono in metri. Trova il modulo |M| del momento della forza rispetto a il punto O(−2, 0, −1).
F = (30, 50, 0) NA(2, 2, 4) mO(−2, 0, −1) m
|M| = N·m
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave semplicemente appoggiata (cerniera in A, carrello in B) porta un carico linearmente variabile che decresce da 15 kN/m in A fino a zero in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
L = 6 mw0 = 15 kN/m
RB = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Un carico P agisce a 6 m da A, inclinato di 50° rispetto all’orizzontale, e un carico verticale Q agisce a 2 m da A. Trova il modulo della reazione totale RA nella cerniera A.
L = 8 mP = 20 kN in 6 m, θ = 50°Q = 35 kN in 2 m
RA = kN
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
C: 10 kN ↓D: 40 kN ↓G: 10 kN ↓H: 20 kN ↓
1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta FC
13asta HC
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 8 maltezza = 2 mB è a 5 m da Acarico verticale = 45 kNcarico orizzontale = 30 kN →
FAB = kN
7.Telai e macchineMedia
Nel morsetto a ginocchiera mostrato, due bielle uguali AB e BC sono incernierate in B, e ciascuna forma un angolo di 10° con la retta AC. Una forza verso il basso di 250 N è applicata in B. Il cursore C preme su un pezzo. Trascurando attrito e pesi, trova la forza di serraggio orizzontale Q.
F = 250 Nθ = 10°
Q = N
8.Telai e macchineDifficile
Una pressa a ginocchiera ha due bielle uguali AB e BC, ciascuna lunga 100 mm tra le cerniere. Il giunto B sta 25 mm sopra la retta AC. Quale forza verso il basso F in B produce una forza di pressione orizzontale di 1500 N sul cursore C? Trascura attrito e pesi.
Q = 1500 NAB = BC = 100 mmh = 25 mm
F = N
9.Taglio e momento flettenteMedia
I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.
55 kN @ 4 m10 kN @ 8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Taglio e momento flettenteDifficile
La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.
L = 8 mP = 45 kN in 1 mw = 8 kN/m da 0 a 8 m
Mmax = kN·m
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 150 mm e spesse 20 mm, un’altezza complessiva di 460 mm e un’anima spessa 6 mm. Trova il suo momento d’inerzia Ix rispetto all’asse baricentrico orizzontale x.
B = 150 mmH = 460 mmtf = 20 mmtw = 6 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 10 kN·m. Trova la tensione di flessione σin basso al bordo inferiore.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Spostamento
d = B − A = (−4, −1, −1) − (0, 1, 4) = (−4, −2, −5) m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vettore posizione da O ad A
r = A − O = (2, 2, 4) − (−2, 0, −1) = (4, 2, 5) m
Momento M = r × F
(r × F)x = ryFz − rzFy = 2·0 − 5·50 = −250 N·m
(r × F)y = rzFx − rxFz = 5·30 − 4·0 = 150 N·m
(r × F)z = rxFy − ryFx = 4·50 − 2·30 = 140 N·m
Modulo
|M| = √((−250)² + 150² + 140²) = 323,4 N·m
Risposta
|M| = 323,4 N·m
3.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RB = 15 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.
Risultante del carico triangolare
W = ½·15·6 = 45 kN
x̄ = L/3 = 2 m
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
ΣMA = 0: RB·6 = 45·2
RB = 15 kN
RA = 45 − 15 = 30 kN
Risposta
RB = 15 kN
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RA = 32,71 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.
Componenti di P
Pv = 20·sin 50° = 15,32 kN
Ph = 20·cos 50° = 12,86 kN
Reazioni
ΣMA = 0: RB·8 = 15,32·6 + 35·2 → RB = 20,24 kN
Ay = 15,32 + 35 − 20,24 = 30,08 kN
Ax = Ph = 12,86 kN
Risultante in A
RA = √(12,86² + 30,08²) = 32,71 kN
Risposta
RA = 32,71 kN
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: asta BF
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
Nodo B
AB e BC stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Verifica con il metodo dei nodi
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·8 = 45·5 + 30·2 → Cy = 35,63 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 35,63 = 9,375 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN
Nodo A
Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.
sin α = 2/5,385 = 0,3714
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −9,375/0,3714 = −25,24 kN
Risposta
FAB = −25,24 kN (compressione)
7.Telai e macchine
Risposta: Q = 708,9 N
Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e Fin·a = Fout·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).
Equilibrio della cerniera B
2·Flink·sin 10° = 250
Flink = 719,8 N
Forza di serraggio
Q = Flink·cos 10° = 250/(2·tan 10°) = 708,9 N
Risposta
Q = 708,9 N
Il rapporto tra le forze Q/F = 2,836 cresce senza limite quando le bielle si raddrizzano.
8.Telai e macchine
Risposta: F = 774,6 N
Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e Fin·a = Fout·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).
Angolo della biella
sin θ = 25/100 = 0,25, θ = 14,48°
Forza nella biella
Flink = Q/cos θ = 1549 N
Forza in B
F = 2·Flink·sin θ = 2·1500·tan θ = 774,6 N
Risposta
F = 774,6 N
9.Taglio e momento flettente
Risposta: C (x = 4 m)
Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.
Reazioni vincolari
Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.
R1 = 40 kN, R2 = 25 kN
Momento flettente in ogni punto
Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.
MA = 0, MB = 80, MC = 160 kN·m, MD = 130, ME = 100, MF = 50, MG = 0
Risposta
Punto C: MC = 160 kN·m
10.Taglio e momento flettente
Risposta: Mmax = 88,48 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, applicata in x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 45·1 + 8·8·4
RB = 301/8 = 37,63 kN
ΣFy = 0: RA = 109 − 37,63 = 71,38 kN
Dove è V = 0?
RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (71,38 − 45)/8 = 3,297 m
Momento massimo
Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 88,48 kN·m
Risposta
Mmax = 88,48 kN·m
Si trova in x = 3,297 m da A.
11.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: Ix = 327,6 × 10⁶ mm⁴
Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = Ic + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna.
Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali
I due vuoti insieme sono larghi (B − tw) e alti hw = H − 2tf, e hanno lo stesso asse x.
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in due rettangoli
Misura ogni y dal bordo inferiore.
ala: Af = 240·30 = 7200 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
anima: Aw = 16·260 = 4160 mm², yw = 260/2 = 130 mm