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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Modulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Versore: û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b: a·b/|b|
Lavoro: W = F·d
Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aree: parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo: V = |a·(b × c)|

Metodo

Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Telai e macchine

Equilibrio di ogni elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Asta a due forze: forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera: uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera: F = √(F_x² + F_y²)
Leva, pinza, leva a squadra: F_in·a = F_out·b
Ginocchiera: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico

Metodo

Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Esercizi

1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia

Trova il prodotto scalare a·b di a = (0, −5, 3) e b = (−6, −7, −3).

a = (0, −5, 3)b = (−6, −7, −3)

a·b =

2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile

Il versore n̂ è perpendicolare sia a a = (0, −5, 2) sia a b = (4, 4, 2) e ha componente z positiva. Trova la sua componente x n̂_x.

a = (0, −5, 2)b = (4, 4, 2)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave semplicemente appoggiata (cerniera in A, carrello in B) porta un carico linearmente variabile che cresce da zero in A fino a 15 kN/m in B. Agisce anche un carico concentrato P a 4,5 m da A. Trova la reazione vincolare verticale R_A.

L = 6 mw₀ = 15 kN/mP = 20 kN in 4,5 m

R_A = kN

4.Reazioni vincolari delle traviDifficile

La trave ha una cerniera in A e un carrello in B, a 4 m da A, e sporge a sbalzo oltre B fino all’estremo libero C. Porta un carico concentrato P a 3,5 m da A e un carico uniformemente distribuito w da 3 m fino all’estremo libero a 5 m. Trova la reazione verticale R_A, considerando positivo il verso verso l’alto.

AB = 4 mAC = 5 mP = 20 kN in 3,5 mw = 10 kN/m da 3 a 5 m

R_A = kN

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 6 maltezza = 2 mB è a 2 m da Acarico verticale = 50 kN

F_AB = kN

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

B: 35 kN ↓F: 10 kN ↓F: 15 kN →H: 10 kN ↓

1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta BG
13asta DG

7.Telai e macchineMedia

Una trave orizzontale AB è incernierata a una parete in A e sostenuta dal puntone CD, incernierato alla parete in C, 0,5 m sotto A. Un carico di 6 kN è appeso in B. Trascura i pesi. Trova il modulo della forza A sulla cerniera della trave in A.

P = 6 kNAD = 0,5 mAB = 1,5 mAC = 0,5 m

A = kN

8.Telai e macchineDifficile

Un braccio orizzontale uniforme AB di peso 2 kN è incernierato a una parete in A e sostenuto da un cavo dall’estremità B al punto C sulla parete, 1 m sopra A. Un carico di 12 kN è appeso in B. Trova la tensione T nel cavo.

W = 12 kNW_b = 2 kNAB = 5 mAC = 1 m

T = kN

9.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 2,5 m da A. Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2 m dall’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 3 mP = 10 kN in 2,5 mw = 12 kN/m da 0 a 3 mx = 2 m

M_x = kN·m

10.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 4 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 55 kN in 1,5 mw = 6 kN/m da 0 a 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

11.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Un tubo circolare ha diametro esterno D = 200 mm e diametro interno d = 168 mm. Trova il suo raggio d’inerzia r rispetto all’asse baricentrico orizzontale.

D = 200 mmd = 168 mm

r = mm

12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 200 mm e spesse 12 mm, un’altezza complessiva di 400 mm e un’anima spessa 14 mm. Porta un momento flettente di 60 kN·m attorno all’asse x. Trova il valore della tensione di flessione massima σ_max nella sezione.

B = 200 mmH = 400 mmt_f = 12 mmt_w = 14 mmM = 60 kN·m

σ_max = MPa

3Soluzioni

1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: a·b = 26

Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, uno scalare. Fornisce l’angolo tra due vettori, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ed è nullo quando i vettori sono perpendicolari. La proiezione scalare di a su b è a·b/|b|, e una forza costante F che compie uno spostamento d esegue il lavoro W = F·d.

Moltiplica le componenti corrispondenti e somma

a·b = 0·(−6) + (−5)·(−7) + 3·(−3) = 0 + 35 + (−9) = 26

Risposta

a·b = 26

Positivo: l’angolo tra i vettori è minore di 90°.

2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: n̂_x = −0,6412

Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) è perpendicolare a entrambi i vettori, e |a × b| = |a|·|b|·sin θ è l’area del parallelogramma che essi generano (il triangolo ne ha la metà). L’ordine conta: b × a = −(a × b). Il momento di una forza F applicata nel punto A rispetto al punto O è M_O = r × F, con r = A − O.

Prodotto vettoriale

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·2 − 2·4 = −18

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·4 − 0·2 = 8

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·4 − (−5)·4 = 20

Normalizza

La componente z di a × b è già positiva.

|a × b| = √((−18)² + 8² + 20²) = 28,07

n̂ = (−18, 8, 20)/28,07 = (−0,6412, 0,285, 0,7125)

n̂_x = −0,6412

Risposta

n̂_x = −0,6412

3.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 20 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Risultante del carico triangolare

W = ½·15·6 = 45 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·4 + 20·4,5

R_B = 45 kN

R_A = 65 − 45 = 20 kN

Risposta

R_A = 20 kN

4.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 2,5 kN

Risultante del carico distribuito

W = 10·2 = 20 kN, x̄ = (3 + 5)/2 = 4 m

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·3,5 + 20·4

R_B = 150/4 = 37,5 kN

R_A = 40 − 37,5 = 2,5 kN

Risposta

R_A = 2,5 kN

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AB = −47,14 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·2 → C_y = 16,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 16,67 = 33,33 kN

Nodo A

Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −33,33/0,7071 = −47,14 kN

Risposta

F_AB = −47,14 kN (compressione)

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta CG

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo C

BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 59,58 kN (T), BC: 44,17 kN (T), CD: 44,17 kN (T), DE: 28,75 kN (T), FG: 59,58 kN (C), GH: 28,75 kN (C), AF: 55,73 kN (C), HE: 35,94 kN (C), BF: 23,44 kN (T), CG: 0, DH: 11,56 kN (T), BG: 19,27 kN (T), DG: 19,27 kN (C)

Risposta

Asta scarica: CG

7.Telai e macchine

Risposta: A = 21,63 kN

Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.

Forza nel puntone

F_CD = 6·1,5/(0,7071·0,5) = 25,46 kN

Componenti in A

A_x = F_CD·cos α = 18 kN (verso la parete)

A_y = 6 − F_CD·sin α = −12 kN

Modulo

A = √(18² + −12²) = 21,63 kN

Risposta

A = 21,63 kN

Un A_y negativo significa che la parete tira la trave verso il basso in A.

8.Telai e macchine

Risposta: T = 66,29 kN

Angolo del cavo

BC = √(5² + 1²) = 5,099 m, sin β = 0,1961

Momenti rispetto ad A

T·0,1961·5 = 12·5 + 2·2,5

T = 66,29 kN

Risposta

T = 66,29 kN

9.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = −11 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −10·0,5 = −5 kN·m

w: −12·1²/2 = −6 kN·m

M_x = −5 − 6 = −11 kN·m

Risposta

M_x = −11 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

10.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 28,5 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1,5 + 6·5·2,5

R_B = 157,5/5 = 31,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 31,5 = 53,5 kN

Taglia in x = 4 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 53,5·4 − 55·(4 − 1,5) − 6·4·2 = 28,5 kN·m

Risposta

M_x = 28,5 kN·m

11.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: r = 65,3 mm

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna. Il raggio d’inerzia r = √(I/A) è la distanza alla quale l’intera area darebbe lo stesso I; si usa nell’instabilità a carico di punta dei pilastri.

Area netta e momento d’inerzia netto

A = π(D² − d²)/4 = 9249 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3,944 × 10⁷ mm⁴

Raggio d’inerzia

r = √(I/A) = √(3,944 × 10⁷/9249) = 65,3 mm

Risposta

r = 65,3 mm

12.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_max = 49,44 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 400 − 2·12 = 376 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·400³ − 186·376³)/12

I_x = 2,427 × 10⁸ mm⁴

Tensione di flessione

y = 200 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·200/2,427 × 10⁸ = 49,44 MPa

Risposta

σ_max = 49,44 MPa

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