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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Trova la proiezione scalare compb a di a = (4, −7, −7) su b = (−2, 1, 3), cioè la componente di a nella direzione di b.
a = (4, −7, −7)b = (−2, 1, 3)
compb a =
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Una forza F = (50, 40, 20) N agisce nel punto A(0, −4, 1). Le coordinate sono in metri. Trova la componente y My del momento della forza rispetto a l’origine O(0, 0, 0).
F = (50, 40, 20) NA(0, −4, 1) mO(0, 0, 0) m
My = N·m
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
L = 6 mP1 = 20 kN in 3,5 mP2 = 60 kN in 4 m
RB = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Un carico P agisce a 1 m da A, inclinato di 30° rispetto all’orizzontale, e un carico verticale Q agisce a 3,5 m da A. Trova l’angolo α tra la reazione totale nella cerniera A e l’orizzontale.
L = 4 mP = 10 kN in 1 m, θ = 30°Q = 50 kN in 3,5 m
α = °
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FBC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 6 maltezza = 3 mB è a 2 m da Acarico verticale = 40 kN
FBC = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 8 maltezza = 2 mB è a 7 m da Acarico verticale = 40 kNcarico orizzontale = 30 kN ←
FAC = kN
7.Telai e macchineMedia
Il telaio mostrato ha cerniere in A, B e C; A e C sono fissate al suolo a 6 m di distanza, e B è 4 m sopra il suolo e 0,9 m a destra di A. Un carico verticale di 6 kN agisce sull’elemento AB in K, a 0,36 m (in orizzontale) da A. Trova la forza FBC nell’elemento BC.
P = 6 kNL = 6 mH = 4 mdistanza orizzontale da A a B = 0,9 mdistanza orizzontale da A a K = 0,36 m
FBC = kN
8.Telai e macchineDifficile
Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 4 m. Le gambe si incontrano nella cerniera C, alta 2 m, e sono legate dall’asta orizzontale DE a 1 m. Una forza orizzontale di 10 kN verso destra agisce in C. Trova la tensione T nel tirante.
P = 10 kNAB = 4 maltezza di C = 2 maltezza di DE = 1 m
T = kN
9.Taglio e momento flettenteMedia
La trave poggia su una cerniera in A e su un carrello in B e sporge a sbalzo oltre B di 1 m fino all’estremo libero C. Porta un carico concentrato P1 tra gli appoggi e un carico concentrato P2 in C. Trova il taglio Vx immediatamente a sinistra dell’appoggio B. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 9 mP1 = 45 kN in 6 mP2 = 60 kN in 9 mappoggi in x = 0 e x = 8 m
Vx = kN
10.Taglio e momento flettenteDifficile
I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.
20 kN @ 12 m30 kN @ 6 m8 kN/m, 0–8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 240 mm con due ali verticali, alta 90 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 8 mm. Trova il suo momento d’inerzia Ix rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.
b = 240 mmh = 90 mmt = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
Una piastra di 150 mm × 300 mm ha un intaglio rettangolare largo 50 mm e alto 30 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 120 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia Ix rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.
b = 150 mmh = 300 mmintaglio: 50 × 30 mmcentro del foro: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Soluzioni
1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: compb a = −9,621
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Prodotto scalare
a·b = 4·(−2) + (−7)·1 + (−7)·3 = −36
Lunghezza di b
|b| = √((−2)² + 1² + 3²) = 3,742
Proiezione scalare
compb a = a·b/|b| = −36/3,742 = −9,621
Risposta
compb a = −9,621
Negativa: a ha una componente rivolta contro b.
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: My = 50 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
ΣMA = 0: RB·6 = 20·3,5 + 60·4
RB = 310/6 = 51,67 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 51,67 = 28,33 kN
Risposta
RB = 51,67 kN
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: α = 49,11 °
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.
Componenti di P
Pv = 10·sin 30° = 5 kN
Ph = 10·cos 30° = 8,66 kN
Reazioni
ΣMA = 0: RB·4 = 5·1 + 50·3,5 → RB = 45 kN
Ay = 5 + 50 − 45 = 10 kN
Ax = Ph = 8,66 kN
Direzione in A
α = atan(Ay/Ax) = atan(10/8,66) = 49,11°
Risposta
α = 49,11°
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: FBC = −22,22 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·6 = 40·2 → Cy = 13,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 13,33 = 26,67 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·8 = 40·7 − 30·2 → Cy = 27,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 27,5 = 12,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Asta a due forze BC
BC = √(5,1² + 4²) = 6,482 m
Telaio completo: momenti rispetto ad A
Il suolo spinge su BC in C lungo CB; la sua componente orizzontale passa per A, solo quella verticale ha un momento.
FBC·(4/6,482)·6 = 6·0,36
FBC = 0,5833 kN (compressione)
Risposta
FBC = 0,5833 kN
8.Telai e macchine
Risposta: T = 10 kN
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Telaio completo: momenti rispetto ad A
By·4 = 10·2
By = 5 kN
Gamba BC: momenti rispetto a C
5·2 = T·1
T = 10 kN
Risposta
T = 10 kN
Una T positiva significa che il tirante è teso, come supposto.
9.Taglio e momento flettente
Risposta: Vx = −41,25 kN
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave. Anche il carico sullo sbalzo dà momento rispetto ad A.
ΣMA = 0: RB·8 = 45·6 + 60·9
RB = 810/8 = 101,3 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 101,3 = 3,75 kN
Taglia immediatamente a sinistra di B e tieni la parte sinistra
Vx = RA − P1 = 3,75 − 45 = −41,25 kN
Risposta
Vx = −41,25 kN
10.Taglio e momento flettente
Risposta: E (x = 8 m)
Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.
Reazioni vincolari
Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.
R1 = 29,5 kN, R2 = 84,5 kN
Momento flettente in ogni punto
Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.
MA = 0, MB = 43, MC = 54, MD = 33, ME = −80 kN·m, MF = −40, MG = 0
Risposta
Punto E: ME = −80 kN·m
11.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: Ix = 2,324 × 10⁶ mm⁴
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in rettangoli
Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.
base: A1 = 240·8 = 1920 mm², y1 = 4 mm
due ali: A2 = 2·8·82 = 1312 mm², y2 = 8 + 82/2 = 49 mm
Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha Ic = bh³/12 e un cerchio Ic = πd⁴/64.
Baricentro
ȳ = (45000·150 − 1500·120)/(45000 − 1500) = 151 mm