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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Trova la proiezione scalare compb a di a = (−6, 1, −5) su b = (−6, 0, −6), cioè la componente di a nella direzione di b.
a = (−6, 1, −5)b = (−6, 0, −6)
compb a =
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Per a = (6, 4, 1) e b = (−2, −5, 6), trova la componente x (a × b)x del prodotto vettoriale a × b.
a = (6, 4, 1)b = (−2, −5, 6)
(a × b)x =
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico uniformemente distribuito w dalla parete fino a 7 m e un carico concentrato P a 7 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione MA alla parete.
L = 10 mP = 10 kN in 7 mw = 10 kN/m da 0 a 7 m
MA = kN·m
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico linearmente variabile che è nullo alla parete e cresce fino a 6 kN/m all’estremo libero B, più un carico concentrato P a 2 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione MA alla parete.
L = 4 mw0 = 6 kN/mP = 20 kN in 2 m
MA = kN·m
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
B: 15 kN ↓G: 40 kN ↓
1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta BG
13asta DG
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FBC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 6 maltezza = 4 mB è a 1 m da Acarico verticale = 10 kNcarico orizzontale = 30 kN ←
FBC = kN
7.Telai e macchineMedia
Nel morsetto a ginocchiera mostrato, due bielle uguali AB e BC sono incernierate in B, e ciascuna forma un angolo di 8° con la retta AC. Una forza verso il basso di 100 N è applicata in B. Il cursore C preme su un pezzo. Trascurando attrito e pesi, trova la forza di serraggio orizzontale Q.
F = 100 Nθ = 8°
Q = N
8.Telai e macchineDifficile
Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 6 m. Le gambe si incontrano nella cerniera C, alta 3 m, e sono legate dall’asta orizzontale DE a 1 m. Una forza orizzontale di 6 kN verso destra agisce in C. Trova la tensione T nel tirante.
P = 6 kNAB = 6 maltezza di C = 3 maltezza di DE = 1 m
T = kN
9.Taglio e momento flettenteMedia
La trave poggia su una cerniera in A e su un carrello in B e sporge a sbalzo oltre B di 2 m fino all’estremo libero C. Porta un carico concentrato P1 tra gli appoggi e un carico concentrato P2 in C. Trova il momento flettente Mx sotto il carico P1. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 10 mP1 = 25 kN in 3 mP2 = 10 kN in 10 mappoggi in x = 0 e x = 8 m
Mx = kN·m
10.Taglio e momento flettenteDifficile
I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.
10 kN @ 0 m30 kN @ 12 m40 kN @ 6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Trova il momento d’inerzia Ix della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.
bf = 260 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 20 kN·m. Trova la tensione di flessione σin basso al bordo inferiore.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Prodotto scalare
a·b = (−6)·(−6) + 1·0 + (−5)·(−6) = 66
Lunghezza di b
|b| = √((−6)² + 0² + (−6)²) = 8,485
Proiezione scalare
compb a = a·b/|b| = 66/8,485 = 7,778
Risposta
compb a = 7,778
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: (a × b)x = 29
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Prodotto vettoriale, componente per componente
(a × b)x = aybz − azby = 4·6 − 1·(−5) = 29
(a × b)y = azbx − axbz = 1·(−2) − 6·6 = −38
(a × b)z = axby − aybx = 6·(−5) − 4·(−2) = −22
Componente richiesta
(a × b)x = 29
Risposta
(a × b)x = 29
Controllo: a × b è perpendicolare a entrambi i vettori, quindi il suo prodotto scalare con a e con b è nullo.
3.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: MA = 315 kN·m
Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale RA e un momento di reazione MA. ΣFy = 0 dà RA, e i momenti rispetto alla parete danno MA = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.
Risultante del carico distribuito
W = 10·7 = 70 kN, x̄ = 3,5 m
Momento rispetto alla parete
MA = P·a + W·x̄ = 10·7 + 70·3,5 = 315 kN·m
Risposta
MA = 315 kN·m
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: MA = 72 kN·m
Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale RA e un momento di reazione MA. ΣFy = 0 dà RA, e i momenti rispetto alla parete danno MA = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.
Risultante del carico triangolare
W = ½·6·4 = 12 kN
x̄ = 2L/3 = 2,667 m
Momento rispetto alla parete
MA = W·x̄ + P·a = 12·2,667 + 20·2 = 72 kN·m
Risposta
MA = 72 kN·m
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: asta CG
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
Nodo C
BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Verifica con il metodo dei nodi
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·6 = 10·1 − 30·4 → Cy = −18,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −18,33 = 28,33 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809
Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e Fin·a = Fout·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).
Equilibrio della cerniera B
2·Flink·sin 8° = 100
Flink = 359,3 N
Forza di serraggio
Q = Flink·cos 8° = 100/(2·tan 8°) = 355,8 N
Risposta
Q = 355,8 N
Il rapporto tra le forze Q/F = 3,558 cresce senza limite quando le bielle si raddrizzano.
8.Telai e macchine
Risposta: T = 4,5 kN
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Telaio completo: momenti rispetto ad A
By·6 = 6·3
By = 3 kN
Gamba BC: momenti rispetto a C
3·3 = T·2
T = 4,5 kN
Risposta
T = 4,5 kN
Una T positiva significa che il tirante è teso, come supposto.
9.Taglio e momento flettente
Risposta: Mx = 39,38 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave. Anche il carico sullo sbalzo dà momento rispetto ad A.
ΣMA = 0: RB·8 = 25·3 + 10·10
RB = 175/8 = 21,88 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 21,88 = 13,13 kN
Taglia sotto P1 e tieni la parte sinistra
Mx = RA·3 = 13,13·3 = 39,38 kN·m
Risposta
Mx = 39,38 kN·m
10.Taglio e momento flettente
Risposta: E (x = 8 m)
Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.
Reazioni vincolari
Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.
R1 = 6,667 kN, R2 = 73,33 kN
Momento flettente in ogni punto
Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.
MA = 0, MB = −20, MC = −26,67, MD = −33,33, ME = −120 kN·m, MF = −60, MG = 0
Risposta
Punto E: ME = −120 kN·m
11.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: Ix = 20,31 × 10⁶ mm⁴
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in due rettangoli
Misura ogni y dal bordo inferiore.
ala: Af = 260·20 = 5200 mm², yf = 200 + 20/2 = 210 mm
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in due rettangoli
Misura ogni y dal bordo inferiore.
ala: Af = 100·30 = 3000 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
anima: Aw = 12·260 = 3120 mm², yw = 260/2 = 130 mm