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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Trova il valore di k per cui i vettori a = (−2, 3, −4) e b = (−5, 5, k) sono perpendicolari.
a = (−2, 3, −4)b = (−5, 5, k)
k =
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Il versore n̂ è perpendicolare sia a a = (−4, −2, 4) sia a b = (3, 1, 0) e ha componente z positiva. Trova la sua componente y n̂y.
a = (−4, −2, 4)b = (3, 1, 0)n̂z > 0
n̂y =
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RA.
L = 6 mP1 = 55 kN in 1,5 mP2 = 20 kN in 4 m
RA = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
L = 5 mP = 25 kN in 2,5 mw = 5 kN/m da 1 a 4 m
RB = kN
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 4 maltezza = 4 mB è a 3 m da Acarico verticale = 55 kN
FAC = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FBC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 4 maltezza = 3 mB è a 3 m da Acarico verticale = 40 kNcarico orizzontale = 20 kN →
FBC = kN
7.Telai e macchineMedia
Una trave orizzontale AB è incernierata a una parete in A e sostenuta dal puntone CD, incernierato alla parete in C, 1,5 m sotto A. Un carico di 4 kN è appeso in B. Trascura i pesi. Trova il modulo della forza A sulla cerniera della trave in A.
P = 4 kNAD = 1,5 mAB = 4 mAC = 1,5 m
A = kN
8.Telai e macchineDifficile
La trave AB della mensola a muro mostrata è incernierata in A e sostenuta dal puntone CD (C è 0,75 m sotto A). La trave porta un carico uniforme di 3 kN/m su tutta la lunghezza e un carico concentrato di 5 kN all’estremità libera B. Trova la forza FCD nel puntone.
w = 3 kN/mP = 5 kNAD = 0,8 mAB = 1,5 mAC = 0,75 m
FCD = kN
9.Taglio e momento flettenteMedia
Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 4 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 6 mw = 3 kN/m da 0 a 6 mx = 4 m
Mx = kN·m
10.Taglio e momento flettenteDifficile
I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.
20 kN @ 12 m20 kN @ 8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Trova il momento d’inerzia Ix della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.
bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 30 kN·m. Trova la tensione di flessione σin basso al bordo inferiore.
Prodotto scalare:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, uno scalare. Fornisce l’angolo tra due vettori, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ed è nullo quando i vettori sono perpendicolari. La proiezione scalare di a su b è a·b/|b|, e una forza costante F che compie uno spostamento d esegue il lavoro W = F·d.
Il prodotto scalare è uguale a zero
a·b = (−2)·(−5) + 3·5 + (−4)·k = 0
25 + (−4)·k = 0
Risolvi per k
k = −25/(−4) = 6,25
Risposta
k = 6,25
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: n̂y = 0,937
Prodotto vettoriale:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) è perpendicolare a entrambi i vettori, e |a × b| = |a|·|b|·sin θ è l’area del parallelogramma che essi generano (il triangolo ne ha la metà). L’ordine conta: b × a = −(a × b). Il momento di una forza F applicata nel punto A rispetto al punto O è MO = r × F, con r = A − O.
Prodotto vettoriale
(a × b)x = aybz − azby = (−2)·0 − 4·1 = −4
(a × b)y = azbx − axbz = 4·3 − (−4)·0 = 12
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·1 − (−2)·3 = 2
Normalizza
La componente z di a × b è già positiva.
|a × b| = √((−4)² + 12² + 2²) = 12,81
n̂ = (−4, 12, 2)/12,81 = (−0,3123, 0,937, 0,1562)
n̂y = 0,937
Risposta
n̂y = 0,937
3.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RA = 47,92 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
ΣMA = 0: RB·6 = 55·1,5 + 20·4
RB = 162,5/6 = 27,08 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 27,08 = 47,92 kN
Risposta
RA = 47,92 kN
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RB = 20 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, applicata in x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·2,5 + 5·3·2,5
RB = 100/5 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
Risposta
RB = 20 kN
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: FAC = 10,31 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·4 = 55·3 → Cy = 41,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 41,25 = 13,75 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·4 = 40·3 + 20·3 → Cy = 45 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 45 = −5 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Forza nel puntone
FCD = 4·4/(0,7071·1,5) = 15,08 kN
Componenti in A
Ax = FCD·cos α = 10,67 kN (verso la parete)
Ay = 4 − FCD·sin α = −6,667 kN
Modulo
A = √(10,67² + −6,667²) = 12,58 kN
Risposta
A = 12,58 kN
Un Ay negativo significa che la parete tira la trave verso il basso in A.
8.Telai e macchine
Risposta: FCD = 19,88 kN
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Risultante del carico uniforme
w·L = 3·1,5 = 4,5 kN in 0,75 m
Momenti rispetto ad A per la trave
FCD·0,6839·0,8 = 4,5·0,75 + 5·1,5 = 10,88 kN·m
FCD = 19,88 kN
Risposta
FCD = 19,88 kN
9.Taglio e momento flettente
Risposta: Mx = 12 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, applicata in x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·6·3
RB = 54/6 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 9 = 9 kN
Taglia in x = 4 m e tieni la parte sinistra
Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.
M = RA·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)
Mx = 9·4 − 3·4·2 = 12 kN·m
Risposta
Mx = 12 kN·m
10.Taglio e momento flettente
Risposta: F (x = 10 m)
Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.
Reazioni vincolari
Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.
R1 = 0 kN, R2 = 40 kN
Momento flettente in ogni punto
Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.
MA = 0, MB = 0, MC = 0, MD = 0, ME = 0, MF = −40 kN·m, MG = 0
Risposta
Punto F: MF = −40 kN·m
11.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: Ix = 122 × 10⁶ mm⁴
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in due rettangoli
Misura ogni y dal bordo inferiore.
ala: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 300 + 20/2 = 310 mm
anima: Aw = 20·300 = 6000 mm², yw = 300/2 = 150 mm
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in due rettangoli
Misura ogni y dal bordo inferiore.
ala: Af = 100·30 = 3000 mm², yf = 300 + 30/2 = 315 mm
anima: Aw = 12·300 = 3600 mm², yw = 300/2 = 150 mm