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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Trova l’angolo θ tra i vettori a = (−5, −3, 5) e b = (1, 5, 0), in gradi.
a = (−5, −3, 5)b = (1, 5, 0)
θ = °
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Il versore n̂ è perpendicolare sia a a = (0, 3, −5) sia a b = (1, 4, −5) e ha componente z positiva. Trova la sua componente y n̂y.
a = (0, 3, −5)b = (1, 4, −5)n̂z > 0
n̂y =
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RA.
L = 5 mP1 = 30 kN in 2,5 mP2 = 15 kN in 3 m
RA = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Un carico P agisce a 0,5 m da A, inclinato di 45° rispetto all’orizzontale, e un carico verticale Q agisce a 2 m da A. Trova il modulo della reazione totale RA nella cerniera A.
L = 4 mP = 60 kN in 0,5 m, θ = 45°Q = 25 kN in 2 m
RA = kN
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FBC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 8 maltezza = 4 mB è a 2 m da Acarico verticale = 10 kN
FBC = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FBC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 8 maltezza = 4 mB è a 6 m da Acarico verticale = 30 kNcarico orizzontale = 20 kN →
FBC = kN
7.Telai e macchineMedia
Il telaio mostrato ha cerniere in A, B e C; A e C sono fissate al suolo a 6 m di distanza, e B è 2,5 m sopra il suolo e 3,6 m a destra di A. Un carico verticale di 15 kN agisce sull’elemento AB in K, a 2,7 m (in orizzontale) da A. Trova la forza FBC nell’elemento BC.
P = 15 kNL = 6 mH = 2,5 mdistanza orizzontale da A a B = 3,6 mdistanza orizzontale da A a K = 2,7 m
FBC = kN
8.Telai e macchineDifficile
Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 2,4 m, con la cerniera al vertice C alta 3 m e il tirante orizzontale DE a 1,5 m dal suolo. Un carico verticale di 5 kN agisce sulla gamba AC in K, a 0,3 m (in orizzontale) da A. Trova il modulo della forza C che la cerniera C esercita sulla gamba BC.
P = 5 kNAB = 2,4 maltezza di C = 3 maltezza di DE = 1,5 mdistanza orizzontale da A a K = 0,3 m
C = kN
9.Taglio e momento flettenteMedia
La trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.
L = 8 mP1 = 75 kN in 1 mP2 = 70 kN in 6 m
Mmax = kN·m
10.Taglio e momento flettenteDifficile
I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.
40 kN @ 12 m55 kN @ 2 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Un tubo circolare ha diametro esterno D = 80 mm e diametro interno d = 68 mm. Trova il suo raggio d’inerzia r rispetto all’asse baricentrico orizzontale.
D = 80 mmd = 68 mm
r = mm
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 30 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σin alto al bordo superiore.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Prodotto scalare
a·b = (−5)·1 + (−3)·5 + 5·0 = −20
Moduli
|a| = √((−5)² + (−3)² + 5²) = 7,681
|b| = √(1² + 5² + 0²) = 5,099
Angolo
cos θ = −20/(7,681·5,099) = −0,5106
θ = arccos(−0,5106) = 120,7°
Risposta
θ = 120,7°
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: n̂y = 0,6509
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Prodotto vettoriale
(a × b)x = aybz − azby = 3·(−5) − (−5)·4 = 5
(a × b)y = azbx − axbz = (−5)·1 − 0·(−5) = −5
(a × b)z = axby − aybx = 0·4 − 3·1 = −3
Normalizza
La componente z di a × b è negativa, quindi usa −(a × b).
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
ΣMA = 0: RB·5 = 30·2,5 + 15·3
RB = 120/5 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 24 = 21 kN
Risposta
RA = 21 kN
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RA = 65,29 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.
Componenti di P
Pv = 60·sin 45° = 42,43 kN
Ph = 60·cos 45° = 42,43 kN
Reazioni
ΣMA = 0: RB·4 = 42,43·0,5 + 25·2 → RB = 17,8 kN
Ay = 42,43 + 25 − 17,8 = 49,62 kN
Ax = Ph = 42,43 kN
Risultante in A
RA = √(42,43² + 49,62²) = 65,29 kN
Risposta
RA = 65,29 kN
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: FBC = −4,507 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·8 = 10·2 → Cy = 2,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 2,5 = 7,5 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 4/7,211 = 0,5547, cos γ = 6/7,211 = 0,8321
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·8 = 30·6 + 20·4 → Cy = 32,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 32,5 = −2,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Asta a due forze BC
BC = √(2,4² + 2,5²) = 3,466 m
Telaio completo: momenti rispetto ad A
Il suolo spinge su BC in C lungo CB; la sua componente orizzontale passa per A, solo quella verticale ha un momento.
FBC·(2,5/3,466)·6 = 15·2,7
FBC = 9,357 kN (compressione)
Risposta
FBC = 9,357 kN
8.Telai e macchine
Risposta: C = 0,8004 kN
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Reazione vincolare in B
By = 5·0,3/2,4 = 0,625 kN
Forza nel tirante
T = 0,625·1,2/1,5 = 0,5 kN
Forza sulla cerniera di BC
Cx = 0,5 kN, Cy = −0,625 kN
C = √(0,5² + 0,625²) = 0,8004 kN
Risposta
C = 0,8004 kN
9.Taglio e momento flettente
Risposta: Mmax = 123,8 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
ΣMA = 0: RB·8 = 75·1 + 70·6
RB = 495/8 = 61,88 kN
ΣFy = 0: RA = 145 − 61,88 = 83,13 kN
Momento sotto ciascun carico
Tieni la parte a sinistra di ciascun carico.
sotto P1: M = RA·1 = 83,13·1 = 83,13 kN·m
sotto P2: M = RB·2 = 61,88·2 = 123,8 kN·m
Valore massimo
Mmax = 123,8 kN·m (sotto P2)
Risposta
Mmax = 123,8 kN·m
10.Taglio e momento flettente
Risposta: E (x = 8 m)
Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.
Reazioni vincolari
Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.
R1 = 21,25 kN, R2 = 73,75 kN
Momento flettente in ogni punto
Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.
MA = 0, MB = 42,5, MC = −25, MD = −92,5, ME = −160 kN·m, MF = −80, MG = 0
Risposta
Punto E: ME = −160 kN·m
11.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: r = 26,25 mm
Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = Ic + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna. Il raggio d’inerzia r = √(I/A) è la distanza alla quale l’intera area darebbe lo stesso I; si usa nell’instabilità a carico di punta dei pilastri.
Area netta e momento d’inerzia netto
A = π(D² − d²)/4 = 1395 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 961063 mm⁴
Raggio d’inerzia
r = √(I/A) = √(961063/1395) = 26,25 mm
Risposta
r = 26,25 mm
12.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: σin alto = 26,43 MPa
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in due rettangoli
Misura ogni y dal bordo inferiore.
ala: Af = 300·30 = 9000 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm