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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Modulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Versore: û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b: a·b/|b|
Lavoro: W = F·d
Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aree: parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo: V = |a·(b × c)|

Metodo

Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Telai e macchine

Equilibrio di ogni elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Asta a due forze: forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera: uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera: F = √(F_x² + F_y²)
Leva, pinza, leva a squadra: F_in·a = F_out·b
Ginocchiera: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico

Metodo

Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Esercizi

1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia

Trova il prodotto scalare a·b di a = (−3, −4, −6) e b = (1, 2, 1).

a = (−3, −4, −6)b = (1, 2, 1)

a·b =

2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile

Per a = (4, 2, −6) e b = (1, 0, 1), trova la componente z (a × b)_z del prodotto vettoriale a × b.

a = (4, 2, −6)b = (1, 0, 1)

(a × b)_z =

3.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico uniformemente distribuito w dalla parete fino a 5 m e un carico concentrato P a 3 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione M_A alla parete.

L = 10 mP = 10 kN in 3 mw = 4 kN/m da 0 a 5 m

M_A = kN·m

4.Reazioni vincolari delle traviDifficile

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Un carico P agisce a 2,5 m da A, inclinato di 60° rispetto all’orizzontale, e un carico verticale Q agisce a 0,5 m da A. Trova il modulo della reazione totale R_A nella cerniera A.

L = 4 mP = 35 kN in 2,5 m, θ = 60°Q = 25 kN in 0,5 m

R_A = kN

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 8 maltezza = 4 mB è a 7 m da Acarico verticale = 25 kN

F_AC = kN

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 4 maltezza = 2 mB è a 3 m da Acarico verticale = 15 kNcarico orizzontale = 20 kN →

F_AC = kN

7.Telai e macchineMedia

Nel morsetto a ginocchiera mostrato, due bielle uguali AB e BC sono incernierate in B, e ciascuna forma un angolo di 25° con la retta AC. Una forza verso il basso di 400 N è applicata in B. Il cursore C preme su un pezzo. Trascurando attrito e pesi, trova la forza di serraggio orizzontale Q.

F = 400 Nθ = 25°

Q = N

8.Telai e macchineDifficile

La trave AB della mensola a muro mostrata è incernierata in A e sostenuta dal puntone CD (C è 0,6 m sotto A). La trave porta un carico uniforme di 1 kN/m su tutta la lunghezza e un carico concentrato di 8 kN all’estremità libera B. Trova la forza F_CD nel puntone.

w = 1 kN/mP = 8 kNAD = 0,6 mAB = 2 mAC = 0,6 m

F_CD = kN

9.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mw = 6 kN/m da 0 a 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

10.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave poggia su una cerniera in A e su un carrello in B e sporge a sbalzo oltre B di 1 m fino all’estremo libero C. Un carico uniformemente distribuito w agisce su tutta la lunghezza A–C. Trova il momento flettente M_B all’appoggio B. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 7 mw = 2 kN/m da 0 a 7 mappoggi in x = 0 e x = 6 m

M_B = kN·m

11.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 180 mm con due ali verticali, alta 60 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 14 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 180 mmh = 60 mmt = 14 mm

ȳ = mm

12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 20 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmM = 20 kN·m

σ_{in basso} = MPa

3Soluzioni

1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: a·b = −17

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Moltiplica le componenti corrispondenti e somma

a·b = (−3)·1 + (−4)·2 + (−6)·1 = (−3) + (−8) + (−6) = −17

Risposta

a·b = −17

Negativo: l’angolo tra i vettori è maggiore di 90°.

2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: (a × b)_z = −2

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Prodotto vettoriale, componente per componente

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·1 − (−6)·0 = 2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−6)·1 − 4·1 = −10

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·0 − 2·1 = −2

Componente richiesta

(a × b)_z = −2

Risposta

(a × b)_z = −2

Controllo: a × b è perpendicolare a entrambi i vettori, quindi il suo prodotto scalare con a e con b è nullo.

3.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: M_A = 80 kN·m

Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale R_A e un momento di reazione M_A. ΣF_y = 0 dà R_A, e i momenti rispetto alla parete danno M_A = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.

Risultante del carico distribuito

W = 4·5 = 20 kN, x̄ = 2,5 m

Momento rispetto alla parete

M_A = P·a + W·x̄ = 10·3 + 20·2,5 = 80 kN·m

Risposta

M_A = 80 kN·m

4.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 37,57 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Componenti di P

P_v = 35·sin 60° = 30,31 kN

P_h = 35·cos 60° = 17,5 kN

Reazioni

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30,31·2,5 + 25·0,5 → R_B = 22,07 kN

A_y = 30,31 + 25 − 22,07 = 33,24 kN

A_x = P_h = 17,5 kN

Risultante in A

R_A = √(17,5² + 33,24²) = 37,57 kN

Risposta

R_A = 37,57 kN

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AC = 5,469 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·7 → C_y = 21,88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 21,88 = 3,125 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21,88/0,9701 = −22,55 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−22,55)·0,2425 = 5,469 kN

Risposta

F_AC = 5,469 kN (trazione)

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AC = 10,63 kN

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 15·3 + 20·2 → C_y = 21,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 21,25 = −6,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21,25/0,8944 = −23,76 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−23,76)·0,4472 = 10,63 kN

Risposta

F_AC = 10,63 kN (trazione)

7.Telai e macchine

Risposta: Q = 428,9 N

Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e F_in·a = F_out·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).

Equilibrio della cerniera B

2·F_link·sin 25° = 400

F_link = 473,2 N

Forza di serraggio

Q = F_link·cos 25° = 400/(2·tan 25°) = 428,9 N

Risposta

Q = 428,9 N

Il rapporto tra le forze Q/F = 1,072 cresce senza limite quando le bielle si raddrizzano.

8.Telai e macchine

Risposta: F_CD = 42,43 kN

Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.

Risultante del carico uniforme

w·L = 1·2 = 2 kN in 1 m

Momenti rispetto ad A per la trave

F_CD·0,7071·0,6 = 2·1 + 8·2 = 18 kN·m

F_CD = 42,43 kN

Risposta

F_CD = 42,43 kN

9.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 26,25 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Taglia in x = 3,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 18·3,5 − 6·3,5·1,75 = 26,25 kN·m

Risposta

M_x = 26,25 kN·m

10.Taglio e momento flettente

Risposta: M_B = −1 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave, compreso il carico sullo sbalzo.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·7 = 14 kN, applicata in x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·7·3,5

R_B = 49/6 = 8,167 kN

ΣF_y = 0: R_A = 14 − 8,167 = 5,833 kN

Taglia in B e tieni lo sbalzo

Il carico sullo sbalzo, w·a, agisce a a/2 da B e tende le fibre superiori della trave sopra l’appoggio.

M_B = −w·a²/2 = −2·1²/2 = −1 kN·m

Risposta

M_B = −1 kN·m

11.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 17,15 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 180·14 = 2520 mm², y₁ = 7 mm

due ali: A₂ = 2·14·46 = 1288 mm², y₂ = 14 + 46/2 = 37 mm

Baricentro

ȳ = (2520·7 + 1288·37)/3808 = 17,15 mm

Risposta

ȳ = 17,15 mm

12.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 312,8 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

anima: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·125 + 1920·60)/3120 = 85 mm

Teorema del trasporto

ala: 120·10³/12 + 1200·(125 − 85)² = 1,93 × 10⁶ mm⁴

anima: 16·120³/12 + 1920·(60 − 85)² = 3,504 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,93 × 10⁶ + 3,504 × 10⁶ = 5,434 × 10⁶ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 85 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·85/5,434 × 10⁶ = 312,8 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 312,8 MPa

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