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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Trova il prodotto scalare a·b di a = (7, 4, 2) e b = (1, −1, 3).
a = (7, 4, 2)b = (1, −1, 3)
a·b =
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Per a = (1, 1, −4) e b = (6, 5, 3), trova la componente z (a × b)z del prodotto vettoriale a × b.
a = (1, 1, −4)b = (6, 5, 3)
(a × b)z =
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave ha una cerniera in A e un carrello in B, a 4,5 m da A, e sporge a sbalzo oltre B fino all’estremo libero C. Trova la reazione verticale RB, considerando positivo il verso verso l’alto.
AB = 4,5 mAC = 6 mP1 = 65 kN in 0,5 mP2 = 70 kN in 6 m
RB = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
L = 10 mP = 10 kN in 2 mw = 5 kN/m da 8 a 9 m
RB = kN
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
D: 10 kN ↓
1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta BG
13asta DG
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
B: 20 kN ↓G: 25 kN ↓H: 35 kN ←
1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta FC
13asta HC
7.Telai e macchineMedia
Nel morsetto a ginocchiera mostrato, due bielle uguali AB e BC sono incernierate in B, e ciascuna forma un angolo di 25° con la retta AC. Una forza verso il basso di 400 N è applicata in B. Il cursore C preme su un pezzo. Trascurando attrito e pesi, trova la forza di serraggio orizzontale Q.
F = 400 Nθ = 25°
Q = N
8.Telai e macchineDifficile
Una pressa a ginocchiera ha due bielle uguali AB e BC, ciascuna lunga 80 mm tra le cerniere. Il giunto B sta 5 mm sopra la retta AC. Quale forza verso il basso F in B produce una forza di pressione orizzontale di 5000 N sul cursore C? Trascura attrito e pesi.
Q = 5000 NAB = BC = 80 mmh = 5 mm
F = N
9.Taglio e momento flettenteMedia
La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 3 m da A. Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 1 m dall’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 3 mP = 40 kN in 3 mw = 6 kN/m da 0 a 3 mx = 1 m
Mx = kN·m
10.Taglio e momento flettenteDifficile
Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 3 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 10 mP = 45 kN in 9 mw = 5 kN/m da 0 a 10 mx = 3 m
Mx = kN·m
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 200 mm e spesse 16 mm, un’altezza complessiva di 480 mm e un’anima spessa 14 mm. Trova il suo momento d’inerzia Ix rispetto all’asse baricentrico orizzontale x.
B = 200 mmH = 480 mmtf = 16 mmtw = 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 50 kN·m. Trova la tensione di flessione σin basso al bordo inferiore.
Prodotto scalare:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, uno scalare. Fornisce l’angolo tra due vettori, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ed è nullo quando i vettori sono perpendicolari. La proiezione scalare di a su b è a·b/|b|, e una forza costante F che compie uno spostamento d esegue il lavoro W = F·d.
Moltiplica le componenti corrispondenti e somma
a·b = 7·1 + 4·(−1) + 2·3 = 7 + (−4) + 6 = 9
Risposta
a·b = 9
Positivo: l’angolo tra i vettori è minore di 90°.
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: (a × b)z = −1
Prodotto vettoriale:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) è perpendicolare a entrambi i vettori, e |a × b| = |a|·|b|·sin θ è l’area del parallelogramma che essi generano (il triangolo ne ha la metà). L’ordine conta: b × a = −(a × b). Il momento di una forza F applicata nel punto A rispetto al punto O è MO = r × F, con r = A − O.
Prodotto vettoriale, componente per componente
(a × b)x = aybz − azby = 1·3 − (−4)·5 = 23
(a × b)y = azbx − axbz = (−4)·6 − 1·3 = −27
(a × b)z = axby − aybx = 1·5 − 1·6 = −1
Componente richiesta
(a × b)z = −1
Risposta
(a × b)z = −1
Controllo: a × b è perpendicolare a entrambi i vettori, quindi il suo prodotto scalare con a e con b è nullo.
3.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RB = 100,6 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.
Momenti rispetto ad A
Positivo in senso antiorario.
ΣMA = 0: RB·4,5 = 65·0,5 + 70·6
RB = 452,5/4,5 = 100,6 kN
Equilibrio verticale
RA = 65 + 70 − 100,6 = 34,44 kN
Risposta
RB = 100,6 kN
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RB = 6,25 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN, applicata in x̄ = 8,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·2 + 5·1·8,5
RB = 62,5/10 = 6,25 kN
ΣFy = 0: RA = 15 − 6,25 = 8,75 kN
Risposta
RB = 6,25 kN
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: asta CG
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
Nodo C
BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Verifica con il metodo dei nodi
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
Nodo D
CD e DE stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Verifica con il metodo dei nodi
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e Fin·a = Fout·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).
Equilibrio della cerniera B
2·Flink·sin 25° = 400
Flink = 473,2 N
Forza di serraggio
Q = Flink·cos 25° = 400/(2·tan 25°) = 428,9 N
Risposta
Q = 428,9 N
Il rapporto tra le forze Q/F = 1,072 cresce senza limite quando le bielle si raddrizzano.
8.Telai e macchine
Risposta: F = 626,2 N
Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e Fin·a = Fout·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).
Angolo della biella
sin θ = 5/80 = 0,0625, θ = 3,583°
Forza nella biella
Flink = Q/cos θ = 5010 N
Forza in B
F = 2·Flink·sin θ = 2·5000·tan θ = 626,2 N
Risposta
F = 626,2 N
9.Taglio e momento flettente
Risposta: Mx = −92 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Tieni la parte dell’estremo libero
P: −40·2 = −80 kN·m
w: −6·2²/2 = −12 kN·m
Mx = −80 − 12 = −92 kN·m
Risposta
Mx = −92 kN·m
Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.
10.Taglio e momento flettente
Risposta: Mx = 66 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, applicata in x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 45·9 + 5·10·5
RB = 655/10 = 65,5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 65,5 = 29,5 kN
Taglia in x = 3 m e tieni la parte sinistra
Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.
M = RA·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)
Mx = 29,5·3 − 5·3·1,5 = 66 kN·m
Risposta
Mx = 66 kN·m
11.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: Ix = 449,5 × 10⁶ mm⁴
Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = Ic + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna.
Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali
I due vuoti insieme sono larghi (B − tw) e alti hw = H − 2tf, e hanno lo stesso asse x.
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in due rettangoli
Misura ogni y dal bordo inferiore.
ala: Af = 120·30 = 3600 mm², yf = 180 + 30/2 = 195 mm