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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Modulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Versore: û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b: a·b/|b|
Lavoro: W = F·d
Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aree: parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo: V = |a·(b × c)|

Metodo

Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Telai e macchine

Equilibrio di ogni elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Asta a due forze: forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera: uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera: F = √(F_x² + F_y²)
Leva, pinza, leva a squadra: F_in·a = F_out·b
Ginocchiera: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico

Metodo

Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Esercizi

1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia

Trova il valore di k per cui i vettori a = (−6, −2, −4) e b = (0, 3, k) sono perpendicolari.

a = (−6, −2, −4)b = (0, 3, k)

k =

2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile

Una forza F = (−60, 60, −10) N agisce nel punto A(−3, −1, −4). Le coordinate sono in metri. Trova il modulo |M| del momento della forza rispetto a l’origine O(0, 0, 0).

F = (−60, 60, −10) NA(−3, −1, −4) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

3.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale R_B.

L = 10 mP₁ = 60 kN in 3 mP₂ = 55 kN in 9 m

R_B = kN

4.Reazioni vincolari delle traviDifficile

Una trave composta è incastrata alla parete in A, ha una cerniera interna in C (a 3,5 m da A) e poggia su un carrello in D (a 6 m da A). Porta un carico concentrato P a 5 m da A e un carico concentrato Q a 1,5 m da A. Trova il modulo del momento di reazione M_A alla parete.

AC = 3,5 mAD = 6 mP = 50 kN in 5 mQ = 70 kN in 1,5 m

M_A = kN·m

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

H: 40 kN ↓

1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta BG
13asta DG

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

D: 20 kN ↓F: 40 kN ↓G: 35 kN ↓H: 35 kN ←

1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta FC
13asta HC

7.Telai e macchineMedia

Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 4 m, con la cerniera al vertice C alta 4,5 m e il tirante orizzontale DE a 1,8 m dal suolo. Un carico verticale di 6 kN agisce sulla gamba AC in K, a 0,5 m (in orizzontale) da A. Trova la tensione T nel tirante.

P = 6 kNAB = 4 maltezza di C = 4,5 maltezza di DE = 1,8 mdistanza orizzontale da A a K = 0,5 m

T = kN

8.Telai e macchineDifficile

Il telaio mostrato ha cerniere in A, B e C; A e C sono fissate al suolo a 5 m di distanza, e B è alta 2,5 m e 3 m a destra di A. L’elemento AB porta un carico verticale di 15 kN in K, a 0,75 m (in orizzontale) da A, e un carico orizzontale di 4 kN verso destra agisce in B sull’elemento AB. Trova il modulo della reazione orizzontale A_x in A.

P = 15 kNQ = 4 kNL = 5 mH = 2,5 mdistanza orizzontale da A a B = 3 mdistanza orizzontale da A a K = 0,75 m

A_x = kN

9.Taglio e momento flettenteMedia

La trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 6 mP₁ = 30 kN in 2 mP₂ = 65 kN in 3 m

M_max = kN·m

10.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 15 kN in 3,5 mw = 12 kN/m da 0 a 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

11.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 20 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mmM = 20 kN·m

σ_{in basso} = MPa

3Soluzioni

1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: k = −1,5

Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, uno scalare. Fornisce l’angolo tra due vettori, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ed è nullo quando i vettori sono perpendicolari. La proiezione scalare di a su b è a·b/|b|, e una forza costante F che compie uno spostamento d esegue il lavoro W = F·d.

Il prodotto scalare è uguale a zero

a·b = (−6)·0 + (−2)·3 + (−4)·k = 0

−6 + (−4)·k = 0

Risolvi per k

k = −(−6)/(−4) = −1,5

Risposta

k = −1,5

2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: |M| = 405,2 N·m

Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) è perpendicolare a entrambi i vettori, e |a × b| = |a|·|b|·sin θ è l’area del parallelogramma che essi generano (il triangolo ne ha la metà). L’ordine conta: b × a = −(a × b). Il momento di una forza F applicata nel punto A rispetto al punto O è M_O = r × F, con r = A − O.

Vettore posizione da O ad A

r = A − O = (−3, −1, −4) − (0, 0, 0) = (−3, −1, −4) m

Momento M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·(−10) − (−4)·60 = 250 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−4)·(−60) − (−3)·(−10) = 210 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−3)·60 − (−1)·(−60) = −240 N·m

Modulo

|M| = √(250² + 210² + (−240)²) = 405,2 N·m

Risposta

|M| = 405,2 N·m

3.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_B = 67,5 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·3 + 55·9

R_B = 675/10 = 67,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 67,5 = 47,5 kN

Risposta

R_B = 67,5 kN

4.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: M_A = 175 kN·m

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio. Una cerniera interna non può trasmettere momento flettente, il che fornisce un’equazione in più: il momento rispetto alla cerniera delle forze su ciascun lato è nullo.

Tratto CD

La cerniera non trasmette momento, quindi i momenti rispetto a C sul solo tratto CD devono equilibrarsi.

ΣM_C = 0: R_D·2,5 = 50·1,5

R_D = 30 kN

V_C = 50 − 30 = 20 kN

Tratto AC

La forza nella cerniera V_C agisce verso il basso su AC (uguale e opposta alla sua azione su CD).

R_A = 70 + 20 = 90 kN

M_A = 70·1,5 + 20·3,5 = 175 kN·m

Risposta

M_A = 175 kN·m

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta CG

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo C

BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 10 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 10 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 14,14 kN (C), HE: 42,43 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (C), BG: 14,14 kN (C), DG: 14,14 kN (T)

Risposta

Asta scarica: CG

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta BF

Nodo B

AB e BC stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 26,25 kN (T), BC: 26,25 kN (T), CD: 33,75 kN (T), DE: 33,75 kN (T), FG: 82,5 kN (C), GH: 82,5 kN (C), AF: 86,62 kN (C), HE: 47,73 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 30,05 kN (T), HC: 19,45 kN (T)

Risposta

Asta scarica: BF

7.Telai e macchine

Risposta: T = 0,5556 kN

Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.

Telaio completo: momenti rispetto ad A

B_y = 6·0,5/4 = 0,75 kN

Gamba BC: momenti rispetto a C

0,75·2 = T·2,7

T = 0,5556 kN

Risposta

T = 0,5556 kN

8.Telai e macchine

Risposta: A_x = 0,6 kN

Direzione di BC

BC = 3,202 m, cos = 0,6247, sin = 0,7809

Telaio completo: momenti rispetto ad A

F_BC·0,7809·5 = 15·0,75 + 4·2,5

F_BC = 5,443 kN

Equilibrio orizzontale

A_x + 4 − 5,443·0,6247 = 0

A_x = −0,6 kN → |A_x| = 0,6 kN

Risposta

A_x = 0,6 kN

Il segno meno significa che A_x punta verso sinistra.

9.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 127,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·2 + 65·3

R_B = 255/6 = 42,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 42,5 = 52,5 kN

Momento sotto ciascun carico

Tieni la parte a sinistra di ciascun carico.

sotto P₁: M = R_A·2 = 52,5·2 = 105 kN·m

sotto P₂: M = R_B·3 = 42,5·3 = 127,5 kN·m

Valore massimo

M_max = 127,5 kN·m (sotto P₂)

Risposta

M_max = 127,5 kN·m

10.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 47,25 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·3,5 + 12·5·2,5

R_B = 202,5/5 = 40,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 40,5 = 34,5 kN

Taglia in x = 3,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 34,5·3,5 − 12·3,5·1,75 = 47,25 kN·m

Risposta

M_x = 47,25 kN·m

11.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 3,604 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

anima: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·105 + 1600·50)/3000 = 75,67 mm

Teorema del trasporto

ala: 140·10³/12 + 1400·(105 − 75,67)² = 1,216 × 10⁶ mm⁴

anima: 16·100³/12 + 1600·(50 − 75,67)² = 2,387 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,216 × 10⁶ + 2,387 × 10⁶ = 3,604 × 10⁶ mm⁴ = 3,604 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 3,604 × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 220,5 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

anima: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·170 + 1600·80)/6800 = 148,8 mm

Teorema del trasporto

ala: 260·20³/12 + 5200·(170 − 148,8)² = 2,505 × 10⁶ mm⁴

anima: 10·160³/12 + 1600·(80 − 148,8)² = 1,099 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,505 × 10⁶ + 1,099 × 10⁷ = 1,35 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 148,8 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·148,8/1,35 × 10⁷ = 220,5 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 220,5 MPa

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