Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 53, 59, 27, 23, 46, 10, 50.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è superiore a 180?

μ = 170σ = 8x = 180

P =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 4 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 4

P =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 11 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,1, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 3 risposte corrette?

n = 11p = 0,1k = 3

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,9371. Trova z con due decimali.

A = 0,9371

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 97,5 % dei dati (il 97,5° percentile).

μ = 178σ = 7P = 97,5%

x = cm

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 20 elementi ha media 16,5 e deviazione standard s = 17,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 20x̄ = 16,5s = 17,590%t(19) = 1,729

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 19. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?

σ = 19E = 399%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 93,11 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 93,11s = 20n = 81

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 36 misure ha media 501,3. La deviazione standard della popolazione è 5. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.

x̄ = 501,3σ = 5n = 3699%

U =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (3,5, 10). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 10)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 18,27

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 268/7 = 38,29

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 14,71² + 20,71² + (−11,29)² + (−15,29)² + 7,714² + (−28,29)² + 11,71² = 2003

Deviazione standard

s = √(2003/6) = 18,27

Risposta

s = 18,27

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,1056

Standardizza

z = 1,25

Tavola della normale standard

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Risposta

P = 0,1056

3.Probabilità

Risposta: P = 0,5177

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Risposta

P = 0,5177

4.Probabilità

Risposta: P = 0,07103

Formula binomiale

P(X = 3) = 165·0,1³·0,9⁸ = 165·0,001·0,4305 = 0,07103

Risposta

P = 0,07103

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 1,86

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = (1 + 0,9371)/2 = 0,9686

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,9686 dentro la tabella e leggi z.

z = 1,86

Risposta

z = 1,86

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 191,7 cm

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

z del percentile

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Ritorno a x

x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm

Risposta

x = 191,72 cm

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 6,766

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Margine di errore

E = 1,729·17,5/√20 = 6,766

Risposta

E = 6,766

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 267

Ricava n

n = (2,576·19/3)² = 266,2

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 267

Risposta

n = 267

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −3,101

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Statistica test

t = (93,11 − 100)/2,222 = −3,101

Risposta

t = −3,101

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 503,4

Margine di errore

E = 2,576·5/√36 = 2,147

Limite dell'intervallo

U = 501,3 + 2,147 = 503,4

Risposta

U = 503,4

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9665

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 387/5 = 77,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 226

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1321

Coefficiente di determinazione

r² = 226²/(40·1321) = 0,9665

Risposta

r² = 0,9665

Circa il 96,65% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −5

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 90/6 = 15

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −64

Retta di regressione

b = −64/17,5 = −3,657

a = 15 − (−3,657)·3,5 = 27,8

ŷ = 27,8 − 3,657·x

Valore previsto

ŷ = 27,8 + (−3,657)·3,5 = 15

Residuo

e = 10 − 15 = −5

Risposta

e = −5

Il punto si trova sotto la retta.

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