Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 34, 37, 31, 24, 43, 41.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 15. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 90?

μ = 60σ = 15x = 90

P =

3.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 5 palline rosse e 3 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

5 / 3

P =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 6 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 3 risposte corrette?

n = 6p = 0,25k = 3

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,3707. Trova z con due decimali.

A = 0,3707

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i pesi dei sacchetti sono distribuiti normalmente con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trascina la soglia in modo che il 25% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 250 gσ = 5 g25%

x = g

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 10 elementi ha media 37 e deviazione standard s = 10,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 10x̄ = 37s = 10,590%t(9) = 1,833

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Uno studio pilota indica che circa 0,6 dei prodotti sono difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,04?

p ≈ 0,6E = 0,0495%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

6 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è −14,55 e la deviazione standard delle differenze è 11,5. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μ_d = 0.

n = 6d̄ = −14,55s_d = 11,5

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2? La deviazione standard è 4. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 4E = 299%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 5?

n = 5ŷ = 5

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 6,957

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 210/6 = 35

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−1)² + 2² + (−4)² + (−11)² + 8² + 6² = 242

Deviazione standard

s = √(242/5) = 6,957

Risposta

s = 6,957

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,9772

Standardizza

z = 2

Tavola della normale standard

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Risposta

P = 0,9772

3.Probabilità

Risposta: P = 0,3571

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0,3571

Risposta

P = 0,3571

4.Probabilità

Risposta: P = 0,1318

Formula binomiale

P(X = 3) = 20·0,25³·0,75³ = 20·0,01563·0,4219 = 0,1318

Risposta

P = 0,1318

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 0,33

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,3707 = 0,6293

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,6293 dentro la tabella e leggi z.

z = 0,33

Risposta

z = 0,33

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 246,7 g

Area a sinistra

Φ(z) = 0,25

z dalla tabella

z ≈ −0,67

Di nuovo nelle unità originali

x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g

Risposta

x = 246,7 g

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 6,086

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 9, t = 1,833

Margine di errore

E = 1,833·10,5/√10 = 6,086

Risposta

E = 6,086

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 577

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Ricava n

n = 1,96²·0,6·0,4/0,04² = 576,2

Arrotonda per eccesso

n = 577

Risposta

n = 577

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −3,099

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Errore standard della differenza media

SE = 11,5/√6 = 4,695

Statistica test

t = −14,55/4,695 = −3,099

Risposta

t = −3,099

Con df = 5, il valore critico bilaterale al 5% è 2,571; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 27

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Ricava n

n = (2,576·4/2)² = 26,54

Arrotonda per eccesso

n = 27

Risposta

n = 27

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,8758

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 333/6 = 55,5

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 413,5

Coefficiente di correlazione

r = 74,5/√(17,5·413,5) = 0,8758

Risposta

r = 0,8758

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 3,191

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 58/5 = 11,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94

Retta di regressione

b = 94/40 = 2,35

a = 11,6 − 2,35·6 = −2,5

ŷ = −2,5 + 2,35·x

Risolvi per x

x = (5 − (−2,5))/2,35 = 3,191

Risposta

x = 3,191

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