Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 13, 37, 44, 46, 25, 23, 57.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 50. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 600?

μ = 500σ = 50x = 600

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,3, 0,15, 0,35

Var(X) =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 11 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 2 risposte corrette?

n = 11p = 0,25k = 2

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Quale frazione è compresa tra 30,2 e 33,2 min? Dai P come numero decimale.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,2x₂ = 33,2

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I diametri D dei fori sono normali con media 25,04 mm e deviazione standard 0,02 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,01 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.

foro: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 9 elementi ha media 101,5 e deviazione standard s = 5,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 9x̄ = 101,5s = 5,590%t(8) = 1,86

limite inferiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 18 parcelle, resa media 28 kg, deviazione standard 3,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 8 parcelle, media 38,5 kg, deviazione standard 2 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 18x̄₁ = 28s₁ = 3,5n₂ = 8x̄₂ = 38,5s₂ = 299%t(24) = 2,797

limite superiore = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 502,3 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 502,3s = 12n = 81

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 95 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 1,5? La deviazione standard è 20. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 20E = 1,595%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 6

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 39?

n = 6ŷ = 39

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 15,37

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 245/7 = 35

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−22)² + 2² + 9² + 11² + (−10)² + (−12)² + 22² = 1418

Deviazione standard

s = √(1418/6) = 15,37

Risposta

s = 15,37

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,9772

Standardizza

z = 2

Tavola della normale standard

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Risposta

P = 0,9772

3.Probabilità

Risposta: Var(X) = 5,31

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 0·0,2 + 2·0,3 + 4·0,15 + 6·0,35 = 3,3

Media dei quadrati

E(X²) = 0·0,2 + 4·0,3 + 16·0,15 + 36·0,35 = 16,2

Varianza

Var(X) = 16,2 − 3,3² = 5,31

Risposta

Var(X) = 5,31

4.Probabilità

Risposta: P = 0,2581

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomiale

P(X = 2) = 55·0,25²·0,75⁹ = 55·0,0625·0,07508 = 0,2581

Risposta

P = 0,2581

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,1972

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (30,2 − 32)/6 = −0,3

z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2

Area compresa

P = Φ(0,2) − Φ(−0,3) = 0,5793 − 0,3821 = 0,1972

Risposta

P = 0,1972

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,9633

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della differenza

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm

Standardizza

z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79

Probabilità

P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633

Risposta

P = 0,9633

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 98,09

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Margine di errore

E = 1,86·5,5/√9 = 3,41

Intervallo

101,5 ± 3,41 → [98,09, 104,9]

Risposta

limite inferiore = 98,09

8.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = −6,771 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Deviazione standard combinata

s_p² = (17·3,5² + 7·2²)/24 = 9,844

s_p = 3,137

Margine di errore

E = 2,797·3,137·√(1/18 + 1/8) = 3,729

Intervallo

−10,5 ± 3,729 → [−14,23, −6,771]

Risposta

limite superiore = −6,771 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 1,725

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Statistica test

t = (502,3 − 500)/1,333 = 1,725

Risposta

t = 1,725

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 683

Ricava n

n = (1,96·20/1,5)² = 683

Arrotonda per eccesso

n = 683

Risposta

n = 683

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9891

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 122/6 = 20,33

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 202

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 589,3

Coefficiente di determinazione

r² = 202²/(70·589,3) = 0,9891

Risposta

r² = 0,9891

Circa il 98,91% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 15,41

Medie

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 359/6 = 59,83

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 538,5

Retta di regressione

b = 538,5/157,5 = 3,419

a = 59,83 − 3,419·21,5 = −13,68

ŷ = −13,68 + 3,419·x

Risolvi per x

x = (39 − (−13,68))/3,419 = 15,41

Risposta

x = 15,41

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