Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 42, 32, 57, 11, 28, 28, 40.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 10. Trova il punteggio z z di un voto pari a 35.

μ = 50σ = 10x = 35

z =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,25, 0,35, 0,15

σ =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 12 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,5, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 4 risposte corrette?

n = 12p = 0,5k = 4

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Le masse di passeggeri con bagaglio sono indipendenti e normali con media 85 kg e deviazione standard 12 kg. Trova la probabilità P che la massa totale di 4 di essi sia inferiore a 388 kg. Arrotonda z a due decimali.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4< 388 kg

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i pesi dei sacchetti sono distribuiti normalmente con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trascina la soglia in modo che il 25% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 250 gσ = 5 g25%

x = g

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 13 elementi ha media 102,5 e deviazione standard s = 15. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.

n = 13x̄ = 102,5s = 1599%t(12) = 3,055

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 14. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2,5?

σ = 14E = 2,595%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 6 studenti, punteggio medio 60, deviazione standard 7. Gruppo 2: 6 studenti, punteggio medio 78,7, deviazione standard 11,5. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).

n₁ = 6x̄₁ = 60s₁ = 7n₂ = 6x̄₂ = 78,7s₂ = 11,5

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 95 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 3? La deviazione standard è 5. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 5E = 395%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (1,5, 18). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 18)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 14,34

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 238/7 = 34

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 8² + (−2)² + 23² + (−23)² + (−6)² + (−6)² + 6² = 1234

Deviazione standard

s = √(1234/6) = 14,34

Risposta

s = 14,34

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = −1,5

Standardizza

z = (35 − 50)/10 = −1,5

Risposta

z = −1,5

3.Probabilità

Risposta: σ = 1,02

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 0·0,25 + 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,15 = 1,4

Media dei quadrati

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,15 = 3

Varianza

Var(X) = 3 − 1,4² = 1,04

σ = √1,04 = 1,02

Risposta

σ = 1,02

4.Probabilità

Risposta: P = 0,1208

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomiale

P(X = 4) = 495·0,5⁴·0,5⁸ = 495·0,0625·0,003906 = 0,1208

Risposta

P = 0,1208

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,9772

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione del totale

μ_T = 340 kg, σ_T = 12·√4 = 24 kg

Standardizza

z = (388 − 340)/24 = 2

Probabilità

P = Φ(2) = 0,9772

Risposta

P = 0,9772

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 253,4 g

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,75

z dalla tabella

z ≈ 0,67

Di nuovo nelle unità originali

x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g

Risposta

x = 253,4 g

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 115,2

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 12, t = 3,055

Margine di errore

E = 3,055·15/√13 = 12,71

Intervallo

102,5 ± 12,71 → [89,79, 115,2]

Risposta

limite superiore = 115,2

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 121

Ricava n

n = (1,96·14/2,5)² = 120,5

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 121

Risposta

n = 121

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −3,402

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varianza combinata

s_p² = (5·7² + 5·11,5²)/10 = 90,63

s_p = 9,52

Errore standard

SE = 9,52·√(1/6 + 1/6) = 5,496

Statistica test

t = (60 − 78,7)/5,496 = −3,402

Risposta

t = −3,402

Con df = 10, il valore critico bilaterale al 5% è 2,228; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 11

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Ricava n

n = (1,96·5/3)² = 10,67

Arrotonda per eccesso

n = 11

Risposta

n = 11

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,9097

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 117/6 = 19,5

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 77,5

Coefficiente di correlazione

r = −33,5/√(17,5·77,5) = −0,9097

Risposta

r = −0,9097

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −4,976

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 119/6 = 19,83

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27,5

Retta di regressione

b = −27,5/17,5 = −1,571

a = 19,83 − (−1,571)·3,5 = 25,33

ŷ = 25,33 − 1,571·x

Valore previsto

ŷ = 25,33 + (−1,571)·1,5 = 22,98

Residuo

e = 18 − 22,98 = −4,976

Risposta

e = −4,976

Il punto si trova sotto la retta.

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