Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 25, 58, 21, 56, 13, 12, 52.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 50. Trova il punteggio z z di un voto pari a 520.

μ = 500σ = 50x = 520

z =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,1, 0,3, 0,25

σ =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 5 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 5p = 0,4

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 55 e 80 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 65σ = 10x₁ = 55x₂ = 80

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 97,5 % dei dati (il 97,5° percentile).

μ = 65σ = 10P = 97,5%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 30 elementi ha media 80,5 e deviazione standard s = 16,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 30x̄ = 80,5s = 16,590%t(29) = 1,699

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 14. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2,5?

σ = 14E = 2,599%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 49 studenti ha un punteggio medio di 116,1 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 116,1s = 15n = 49

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 49 misure ha media 99,4. La deviazione standard della popolazione è 5. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.

x̄ = 99,4σ = 5n = 4990%

U =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 6Σx = 42Σy = 370Σx² = 364Σy² = 23590Σxy = 2810

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (3,5, 19). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 19)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 20,65

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 237/7 = 33,86

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−8,857)² + 24,14² + (−12,86)² + 22,14² + (−20,86)² + (−21,86)² + 18,14² = 2559

Deviazione standard

s = √(2559/6) = 20,65

Risposta

s = 20,65

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = 0,4

Standardizza

z = (520 − 500)/50 = 0,4

Risposta

z = 0,4

3.Probabilità

Risposta: σ = 2,406

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 0·0,35 + 2·0,1 + 4·0,3 + 6·0,25 = 2,9

Media dei quadrati

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,1 + 16·0,3 + 36·0,25 = 14,2

Varianza

Var(X) = 14,2 − 2,9² = 5,79

σ = √5,79 = 2,406

Risposta

σ = 2,406

4.Probabilità

Risposta: P = 0,337

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,6⁵ = 0,07776

P(X = 1) = 5·0,4·0,6⁴ = 0,2592

Sommale

P = 0,07776 + 0,2592 = 0,337

Risposta

P = 0,337

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,7745

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (55 − 65)/10 = −1

z₂ = (80 − 65)/10 = 1,5

Area compresa

P = Φ(1,5) − Φ(−1) = 0,9332 − 0,1587 = 0,7745

Risposta

P = 0,7745

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 84,6 punti

z del percentile

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Ritorno a x

x = 65 + 1,96·10 = 84,6 punti

Risposta

x = 84,6 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 85,62

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 29, t = 1,699

Margine di errore

E = 1,699·16,5/√30 = 5,118

Intervallo

80,5 ± 5,118 → [75,38, 85,62]

Risposta

limite superiore = 85,62

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 209

Ricava n

n = (2,576·14/2,5)² = 208,1

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 209

Risposta

n = 209

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −1,82

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

Statistica test

t = (116,1 − 120)/2,143 = −1,82

Risposta

t = −1,82

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 100,6

Margine di errore

E = 1,645·5/√49 = 1,175

Limite dell'intervallo

U = 99,4 + 1,175 = 100,6

Risposta

U = 100,6

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9456

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 2810 − 42·370/6 = 220

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 23590 − 370²/6 = 773,3

Coefficiente di correlazione

r = 220/√(70·773,3) = 0,9456

Risposta

r = 0,9456

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −5,4

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 125/5 = 25

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −12

Retta di regressione

b = −12/10 = −1,2

a = 25 − (−1,2)·3 = 28,6

ŷ = 28,6 − 1,2·x

Valore previsto

ŷ = 28,6 + (−1,2)·3,5 = 24,4

Residuo

e = 19 − 24,4 = −5,4

Risposta

e = −5,4

Il punto si trova sotto la retta.

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