Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 23, 27, 13, 29, 18.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 116?

μ = 100σ = 8x = 116

P =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 3 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 3

P =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 6 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,1, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 4 risposte corrette?

n = 6p = 0,1k = 4

P =

5.Distribuzione normaleMedia

X è normale con media 120 mm e deviazione standard 0,3 mm; Y è indipendente e normale con media 80 mm e deviazione standard 0,4 mm. Trova la probabilità P che X + Y sia maggiore di 200,5 mm. Arrotonda z a due decimali.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,5 mm

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

La massa X di un prodotto della linea 1 e Y della linea 2 sono indipendenti e normali: X ha media 500 g e deviazione standard 8 g, Y ha media 490 g e deviazione standard 6 g. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 100 telefoni, media 61,5 h, deviazione standard nota 9 h. Modello 2: 50 telefoni, media 71,5 h, deviazione standard nota 14 h. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 61,5 hσ₁ = 9 hn₂ = 50x̄₂ = 71,5 hσ₂ = 14 h90%

limite superiore = h

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 23 parcelle, resa media 85,5 kg, deviazione standard 6 kg. Gruppo di parcelle 2: 8 parcelle, media 79 kg, deviazione standard 8 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 23x̄₁ = 85,5s₁ = 6n₂ = 8x̄₂ = 79s₂ = 899%t(29) = 2,756

limite superiore = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 78,4 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 78,4s = 8n = 16

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 90 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2? La deviazione standard è 4. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 4E = 290%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (8, 82). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(8, 82)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 6,557

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 110/5 = 22

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 1² + 5² + (−9)² + 7² + (−4)² = 172

Deviazione standard

s = √(172/4) = 6,557

Risposta

s = 6,557

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,9772

Standardizza

z = 2

Tavola della normale standard

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Risposta

P = 0,9772

3.Probabilità

Risposta: P = 0,4213

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Risposta

P = 0,4213

4.Probabilità

Risposta: P = 0,001215

Formula binomiale

P(X = 4) = 15·0,1⁴·0,9² = 15·0,0001·0,81 = 0,001215

Risposta

P = 0,001215

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,1587

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della somma

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standardizza

z = (200,5 − 200)/0,5 = 1

Coda superiore

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Risposta

P = 0,1587

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,8413

Distribuzione della differenza

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standardizza

z = (0 − 10)/10 = −1

Probabilità

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Risposta

P = 0,8413

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = −6,422 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 61,5 − 71,5 = −10

Errore standard

SE = √(9²/100 + 14²/50) = 2,175

Margine di errore

E = 1,645·2,175 = 3,578

Intervallo

−10 ± 3,578 → [−13,58, −6,422]

Risposta

limite superiore = −6,422 h

L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.

8.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 13,9 kg

Deviazione standard combinata

s_p² = (22·6² + 7·8²)/29 = 42,76

s_p = 6,539

Margine di errore

E = 2,756·6,539·√(1/23 + 1/8) = 7,397

Intervallo

6,5 ± 7,397 → [−0,8971, 13,9]

Risposta

limite superiore = 13,9 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 1,7

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Statistica test

t = (78,4 − 75)/2 = 1,7

Risposta

t = 1,7

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 11

Ricava n

n = (1,645·4/2)² = 10,82

Arrotonda per eccesso

n = 11

Risposta

n = 11

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9245

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 187/6 = 31,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 150,8

Coefficiente di correlazione

r = 47,5/√(17,5·150,8) = 0,9245

Risposta

r = 0,9245

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −4,167

Medie

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 517/6 = 86,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 329

Retta di regressione

b = 329/70 = 4,7

a = 86,17 − 4,7·8 = 48,57

ŷ = 48,57 + 4,7·x

Valore previsto

ŷ = 48,57 + 4,7·8 = 86,17

Residuo

e = 82 − 86,17 = −4,167

Risposta

e = −4,167

Il punto si trova sotto la retta.

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