Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 37, 25, 50, 39, 58.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 15. Trova il punteggio z z di un voto pari a 158.

μ = 170σ = 15x = 158

z =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 4 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 4

P =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 6 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,7, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 6p = 0,7

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,1562. Trova z con due decimali.

A = 0,1562

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 40% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 500 hσ = 40 h40%

x = h

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 12 elementi ha media 67 e deviazione standard s = 14. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 99 % per la media.

n = 12x̄ = 67s = 1499%t(11) = 3,106

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 40. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 4?

σ = 40E = 490%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si afferma che la media di una popolazione sia 100; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 25. Un campione casuale di 100 osservazioni ha media 95,55. Verifica H₀: μ = 100 contro H₁: μ < 100. Trova il p-value p.

μ₀ = 100σ = 25n = 100x̄ = 95,55H₁: μ < μ₀

p =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale con α = 0,01 deve rilevare uno spostamento della media di 3 unità con una potenza del 90%. La deviazione standard è 15. Trova la dimensione minima del campione n.

α = 0,01potenza = 90%δ = 3σ = 15z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 6Σx = 27Σy = 408Σx² = 139Σy² = 28182Σxy = 1923

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (5, 7). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(5, 7)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 12,68

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 209/5 = 41,8

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−4,8)² + (−16,8)² + 8,2² + (−2,8)² + 16,2² = 642,8

Deviazione standard

s = √(642,8/4) = 12,68

Risposta

s = 12,68

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = −0,8

Standardizza

z = (158 − 170)/15 = −0,8

Risposta

z = −0,8

3.Probabilità

Risposta: P = 0,5177

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Risposta

P = 0,5177

4.Probabilità

Risposta: P = 0,01094

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,3⁶ = 0,000729

P(X = 1) = 6·0,7·0,3⁵ = 0,01021

Sommale

P = 0,000729 + 0,01021 = 0,01094

Risposta

P = 0,01094

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 1,01

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,1562 = 0,8438

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,8438 dentro la tabella e leggi z.

z = 1,01

Risposta

z = 1,01

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 490 h

Area a sinistra

Φ(z) = 0,4

z dalla tabella

z ≈ −0,25

Di nuovo nelle unità originali

x = 500 − 0,25·40 = 490 h

Risposta

x = 490 h

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 12,55

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Margine di errore

E = 3,106·14/√12 = 12,55

Risposta

E = 12,55

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 271

Ricava n

n = (1,645·40/4)² = 270,6

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 271

Risposta

n = 271

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: p = 0,03754

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistica test

SE = σ/√n = 25/√100 = 2,5

z = (95,55 − 100)/2,5 = −1,78

Area della coda

Φ(1,78) = 0,9625

1 − Φ(1,78) = 0,0375

p-value

p = 0,03754

Risposta

p = 0,03754

p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 326

Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = ((2,326 + 1,282)·15/3)² = 325,4

Arrotonda per eccesso

n = 326

Risposta

n = 326

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9937

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 1923 − 27·408/6 = 87

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 28182 − 408²/6 = 438

Coefficiente di correlazione

r = 87/√(17,5·438) = 0,9937

Risposta

r = 0,9937

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −2,938

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 79/6 = 13,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 113

Retta di regressione

b = 113/70 = 1,614

a = 13,17 − 1,614·7 = 1,867

ŷ = 1,867 + 1,614·x

Valore previsto

ŷ = 1,867 + 1,614·5 = 9,938

Residuo

e = 7 − 9,938 = −2,938

Risposta

e = −2,938

Il punto si trova sotto la retta.

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