Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 59, 28, 56, 35, 33.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 25. Trova il punteggio z z di un voto pari a 475.

μ = 500σ = 25x = 475

z =

3.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 6 palline rosse e 8 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

6 / 8

P =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 5 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,5, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 5p = 0,5

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,0436. Trova z con due decimali.

A = 0,0436

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i voti di un esame sono distribuiti normalmente con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trascina la soglia in modo che il 70% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 65 puntiσ = 10 punti70%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

La pressione arteriosa di 10 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media −4,8 e deviazione standard 7,7. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 95% per la differenza media.

n = 10d̄ = −4,8s_d = 7,795%t(9) = 2,262

E = mmHg

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 28. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1,5?

σ = 28E = 1,595%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 100 pezzi ha lunghezza media 82 mm, e la deviazione standard nota della linea è 15 mm. Linea 2: un campione di 60 pezzi ha media 84,1 mm, deviazione standard nota 7 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).

n₁ = 100x̄₁ = 82 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 60x̄₂ = 84,1 mmσ₂ = 7 mm

z =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 3? La deviazione standard è 12. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 12E = 399%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 6Σx = 42Σy = 381Σx² = 364Σy² = 26179Σxy = 3038

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (1,5, 24). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 24)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 14,24

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 211/5 = 42,2

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 16,8² + (−14,2)² + 13,8² + (−7,2)² + (−9,2)² = 810,8

Deviazione standard

s = √(810,8/4) = 14,24

Risposta

s = 14,24

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = −1

Standardizza

z = (475 − 500)/25 = −1

Risposta

z = −1

3.Probabilità

Risposta: P = 0,1648

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 6/14 · 5/13 = 30/182 = 0,1648

Risposta

P = 0,1648

4.Probabilità

Risposta: P = 0,1875

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,5⁵ = 0,03125

P(X = 1) = 5·0,5·0,5⁴ = 0,1563

Sommale

P = 0,03125 + 0,1563 = 0,1875

Risposta

P = 0,1875

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 1,71

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,0436 = 0,9564

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,9564 dentro la tabella e leggi z.

z = 1,71

Risposta

z = 1,71

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 70,2 punti

Area a sinistra

Φ(z) = 0,7

z dalla tabella

z ≈ 0,52

Di nuovo nelle unità originali

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 punti

Risposta

x = 70,2 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 5,508 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valore critico

df = 9, t = 2,262

Margine di errore

E = 2,262·7,7/√10 = 5,508

Risposta

E = 5,508 mmHg

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 1339

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = (1,96·28/1,5)² = 1339

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 1339

Risposta

n = 1339

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = −1,199

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Errore standard della differenza

SE = √(15²/100 + 7²/60) = √3,067 = 1,751

Statistica test

z = (82 − 84,1)/1,751 = −1,199

Risposta

z = −1,199

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 107

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Ricava n

n = (2,576·12/3)² = 106,2

Arrotonda per eccesso

n = 107

Risposta

n = 107

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9952

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 3038 − 42·381/6 = 371

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 26179 − 381²/6 = 1986

Coefficiente di correlazione

r = 371/√(70·1986) = 0,9952

Risposta

r = 0,9952

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 4,55

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 74/5 = 14,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

Retta di regressione

b = −31/10 = −3,1

a = 14,8 − (−3,1)·3 = 24,1

ŷ = 24,1 − 3,1·x

Valore previsto

ŷ = 24,1 + (−3,1)·1,5 = 19,45

Residuo

e = 24 − 19,45 = 4,55

Risposta

e = 4,55

Il punto si trova sopra la retta.

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