Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare
P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribuzione normale

Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Sotto x
P(X < x) = Φ(z)
Sopra x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentile
x = μ + z·σ

Metodo

  1. Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
  3. Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
  4. Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

  1. Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
  2. Trova il valore critico per il livello di confidenza.
  3. Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
  4. Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n

Metodo

  1. Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
  2. Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
  3. Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
  4. Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza
b = Sxy/Sxx
Intercetta
a = ȳ − b·x̄
Correlazione
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residuo
e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia
2530354045505560

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 58, 25, 36, 40, 60.

n = 5
s =
2.Statistica descrittivaDifficile
z −2−1012

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 10. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 80?

μ = 60σ = 10x = 80
P =
3.ProbabilitàMedia
n = 6k = 3N = ?

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 3 persone da un gruppo di 6? L'ordine non conta.

n = 6k = 3
N =
4.ProbabilitàDifficile
n = 12, p = 0,25: P(X = 3) = ?k0123456789101112

Un test ha 12 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 3 risposte corrette?

n = 12p = 0,25k = 3
P =
5.Distribuzione normaleMedia
2037,1P = ?

Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Quale frazione è compresa tra 20 e 37,1 min? Dai P come numero decimale.

μ = 32σ = 6x1 = 20x2 = 37,1
P =
6.Distribuzione normaleDifficile
μ = 178x = ?5%

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 5 % dei dati (il 5° percentile).

μ = 178σ = 7P = 5%
x = cm
7.Intervalli di confidenzaMedia
x̄E₁ = 995%, n = 25x̄E₂ = ?95%, n = 225

Un intervallo di confidenza al 95% per una media, basato su 25 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 9. Qual è il margine di errore E₂ se lo stesso studio usa invece 225 osservazioni?

95%n₁ = 25E₁ = 9n₂ = 225
E₂ =
8.Intervalli di confidenzaDifficile
μ₁ − μ₂, t(14) = 1,7610LUx̄₁ − x̄₂E = ?90%

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 5 parcelle, resa media 93 kg, deviazione standard 6,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 11 parcelle, media 88,5 kg, deviazione standard 9,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 93s₁ = 6,5n₂ = 11x̄₂ = 88,5s₂ = 9,590%t(14) = 1,761
E = kg
9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
−2,1312,131t = ?df = 15

16 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è 9,17 e la deviazione standard delle differenze è 9,4. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μd = 0.

n = 16d̄ = 9,17sd = 9,4
t =
10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
μ₀x̄c

Un test z unilaterale di H₀: μ = 200 contro H₁: μ < 200 viene eseguito con α = 0.10 su un campione di 36; la deviazione standard è nota e vale 6. In realtà la media è 197.5. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.

μ₀ = 200μ = 197,5σ = 6n = 36α = 0,10
1 − β = %
11.Regressione lineare e correlazioneMedia
xy264176228331039xy5102040

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 5Σx = 30Σy = 117Σx² = 220Σy² = 3419Σxy = 866
r =
12.Regressione lineare e correlazioneDifficile
xy1576179119100211192312625131xy15202580100120x = 22

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (22, 115). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(22, 115)
e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 14,94

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 219/5 = 43,8

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 14,2² + (−18,8)² + (−7,8)² + (−3,8)² + 16,2² = 892,8

Deviazione standard

s = √(892,8/4) = 14,94

Risposta

s = 14,94
2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,9772

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Standardizza

z = 2

Tavola della normale standard

Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772

Risposta

P = 0,9772
3.Probabilità

Risposta: N = 20

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

Risposta

N = 20
4.Probabilità

Risposta: P = 0,2581

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomiale

P(X = 3) = 220·0,253·0,759 = 220·0,01563·0,07508 = 0,2581

Risposta

P = 0,2581
5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,7796

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (20 − 32)/6 = −2
z₂ = (37,1 − 32)/6 = 0,85

Area compresa

P = Φ(0,85) − Φ(−2) = 0,8023 − 0,02275 = 0,7796

Risposta

P = 0,7796
6.Distribuzione normale

Risposta: x = 166,5 cm

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

z del percentile

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Ritorno a x

x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm

Risposta

x = 166,49 cm
7.Intervalli di confidenza

Risposta: E₂ = 3

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rapporto dei margini

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(25/225) = 0,3333

Nuovo margine

E₂ = 9·0,3333 = 3

Risposta

E₂ = 3
8.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 8,309 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Deviazione standard combinata

sp² = (4·6,5² + 10·9,5²)/14 = 76,54
sp = 8,748

Margine di errore

E = 1,761·8,748·√(1/5 + 1/11) = 8,309

Risposta

E = 8,309 kg
9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 3,902

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Errore standard della differenza media

SE = 9,4/√16 = 2,35

Statistica test

t = 9,17/2,35 = 3,902

Risposta

t = 3,902

Con df = 15, il valore critico bilaterale al 5% è 2,131; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: 1 − β = 88,84 %

Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Media campionaria critica

SE = 6/√36 = 1
x̄c = 200 − 1,282·1 = 198,7

z sotto la media vera

z = (198,7 − 197,5)/1 = 1,218

Potenza

potenza = P(Z < 1.218) = 88.84%
1 − β = 88,84%

Risposta

1 − β = 88,84%
11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9935

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

Sxy = 866 − 30·117/5 = 164
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 3419 − 117²/5 = 681,2

Coefficiente di correlazione

r = 164/√(40·681,2) = 0,9935

Risposta

r = 0,9935
12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −3,567

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 643/6 = 107,2

Somme dei quadrati e dei prodotti

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 399

Retta di regressione

b = 399/70 = 5,7
a = 107,2 − 5,7·20 = −6,833
ŷ = −6,833 + 5,7·x

Valore previsto

ŷ = −6,833 + 5,7·22 = 118,6

Residuo

e = 115 − 118,6 = −3,567

Risposta

e = −3,567

Il punto si trova sotto la retta.

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