Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 47, 23, 16, 43, 25, 46.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 8. Trova il punteggio z z di un voto pari a 50,4.

μ = 60σ = 8x = 50,4

z =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 3 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 3

P =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 12 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,6, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 2 risposte corrette?

n = 12p = 0,6k = 2

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Quale frazione è compresa tra 440 e 522 h? Dai P come numero decimale.

μ = 500σ = 40x₁ = 440x₂ = 522

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I diametri D dei fori sono normali con media 25,02 mm e deviazione standard 0,015 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,02 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.

foro: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 30 elementi ha media 106,5 e deviazione standard s = 16. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 30x̄ = 106,5s = 1695%t(29) = 2,045

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 15. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2,5?

σ = 15E = 2,599%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 205,3 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 205,3s = 15n = 36

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 95 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 0,5? La deviazione standard è 15. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 15E = 0,595%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (6, 57). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(6, 57)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 13,54

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 200/6 = 33,33

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 13,67² + (−10,33)² + (−17,33)² + 9,667² + (−8,333)² + 12,67² = 917,3

Deviazione standard

s = √(917,3/5) = 13,54

Risposta

s = 13,54

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = −1,2

Standardizza

z = (50,4 − 60)/8 = −1,2

Risposta

z = −1,2

3.Probabilità

Risposta: P = 0,4213

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Risposta

P = 0,4213

4.Probabilità

Risposta: P = 0,002491

Formula binomiale

P(X = 2) = 66·0,6²·0,4¹⁰ = 66·0,36·0,0001049 = 0,002491

Risposta

P = 0,002491

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,642

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (440 − 500)/40 = −1,5

z₂ = (522 − 500)/40 = 0,55

Area compresa

P = Φ(0,55) − Φ(−1,5) = 0,7088 − 0,06681 = 0,642

Risposta

P = 0,642

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,7881

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della differenza

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm

Standardizza

z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8

Probabilità

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Risposta

P = 0,7881

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 112,5

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Margine di errore

E = 2,045·16/√30 = 5,974

Intervallo

106,5 ± 5,974 → [100,5, 112,5]

Risposta

limite superiore = 112,5

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 239

Ricava n

n = (2,576·15/2,5)² = 238,9

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 239

Risposta

n = 239

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,12

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Statistica test

t = (205,3 − 200)/2,5 = 2,12

Risposta

t = 2,12

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 3458

Ricava n

n = (1,96·15/0,5)² = 3457

Arrotonda per eccesso

n = 3458

Risposta

n = 3458

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9897

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 738/6 = 123

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 960

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 5974

Coefficiente di correlazione

r = 960/√(157,5·5974) = 0,9897

Risposta

r = 0,9897

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −1,8

Medie

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 314/5 = 62,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

Retta di regressione

b = 160/40 = 4

a = 62,8 − 4·7 = 34,8

ŷ = 34,8 + 4·x

Valore previsto

ŷ = 34,8 + 4·6 = 58,8

Residuo

e = 57 − 58,8 = −1,8

Risposta

e = −1,8

Il punto si trova sotto la retta.

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