Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 14, 18, 35, 53, 21, 26, 47.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 25. Trova il punteggio z z di un voto pari a 470.

μ = 500σ = 25x = 470

z =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,25, 0,1, 0,15, 0,3

Var(X) =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 2 €. Si vincono 6 € con probabilità 0,25 e 20 € con probabilità 0,01; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €2€6: p = 0,25€20: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,2912. Trova z con due decimali.

A = 0,2912

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I diametri D dei fori sono normali con media 25,05 mm e deviazione standard 0,02 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,01 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.

foro: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

La pressione arteriosa di 15 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media −1,7 e deviazione standard 3,1. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 95% per la differenza media.

n = 15d̄ = −1,7s_d = 3,195%t(14) = 2,145

E = mmHg

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 12 parcelle, resa media 84,5 kg, deviazione standard 6,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 9 parcelle, media 91,5 kg, deviazione standard 6 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 12x̄₁ = 84,5s₁ = 6,5n₂ = 9x̄₂ = 91,5s₂ = 695%t(19) = 2,093

E = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 100 studenti ha un punteggio medio di 117,5 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 117,5s = 8n = 100

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2? La deviazione standard è 10. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 10E = 299%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 5,5.

n = 5x = 5,5

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 14,93

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 214/7 = 30,57

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−16,57)² + (−12,57)² + 4,429² + 22,43² + (−9,571)² + (−4,571)² + 16,43² = 1338

Deviazione standard

s = √(1338/6) = 14,93

Risposta

s = 14,93

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = −1,2

Standardizza

z = (470 − 500)/25 = −1,2

Risposta

z = −1,2

3.Probabilità

Risposta: Var(X) = 2,39

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 0·0,2 + 1·0,25 + 2·0,1 + 3·0,15 + 4·0,3 = 2,1

Media dei quadrati

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,25 + 4·0,1 + 9·0,15 + 16·0,3 = 6,8

Varianza

Var(X) = 6,8 − 2,1² = 2,39

Risposta

Var(X) = 2,39

4.Probabilità

Risposta: E(G) = −0,3 €

Esiti netti

G: 4 (p = 0,25), 18 (p = 0,01), −2 (p = 0,74)

Valore atteso

E(G) = 4·0,25 + 18·0,01 − 2·0,74 = −0,3 €

Risposta

E(G) = −0,3 €

Un valore negativo significa che in media perdi denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 0,55

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,2912 = 0,7088

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,7088 dentro la tabella e leggi z.

z = 0,55

Risposta

z = 0,55

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,9875

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della differenza

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm

Standardizza

z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24

Probabilità

P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875

Risposta

P = 0,9875

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 1,717 mmHg

Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.

Valore critico

df = 14, t = 2,145

Margine di errore

E = 2,145·3,1/√15 = 1,717

Risposta

E = 1,717 mmHg

8.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 5,809 kg

Deviazione standard combinata

s_p² = (11·6,5² + 8·6²)/19 = 39,62

s_p = 6,294

Margine di errore

E = 2,093·6,294·√(1/12 + 1/9) = 5,809

Risposta

E = 5,809 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −3,125

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Statistica test

t = (117,5 − 120)/0,8 = −3,125

Risposta

t = −3,125

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 166

Ricava n

n = (2,576·10/2)² = 165,9

Arrotonda per eccesso

n = 166

Risposta

n = 166

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,851

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 148/6 = 24,67

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 53,33

Coefficiente di correlazione

r = −26/√(17,5·53,33) = −0,851

Risposta

r = −0,851

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 38,15

Medie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 184/5 = 36,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 27

Retta di regressione

b = 27/10 = 2,7

a = 36,8 − 2,7·5 = 23,3

ŷ = 23,3 + 2,7·x

Previsione

ŷ = 23,3 + 2,7·5,5 = 38,15

Risposta

ŷ = 38,15

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