Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 49, 18, 17, 46, 29, 41.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è superiore a 30?

μ = 60σ = 20x = 30

P =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 5 persone da un gruppo di 10? L'ordine non conta.

n = 10k = 5

N =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 5 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,6, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 5p = 0,6

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 65 e 85,5 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 65σ = 10x₁ = 65x₂ = 85,5

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trova il valore x sotto il quale si trova il 25 % dei dati (il 25° percentile).

μ = 500σ = 40P = 25%

x = h

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 6 elementi ha media 64,5 e deviazione standard s = 5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.

n = 6x̄ = 64,5s = 599%t(5) = 4,032

limite inferiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

I diametri di 21 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 0,6 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite inferiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 20, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 9,591 e il 2,5% sopra 34,17.

n = 21s = 0,6 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 122,4 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 122,4s = 12n = 36

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 1? La deviazione standard è 10. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 10E = 199%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 6

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (3,5, 16). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 16)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 14,04

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 200/6 = 33,33

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 15,67² + (−15,33)² + (−16,33)² + 12,67² + (−4,333)² + 7,667² = 985,3

Deviazione standard

s = √(985,3/5) = 14,04

Risposta

s = 14,04

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,9332

Standardizza

z = −1,5

Tavola della normale standard

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Risposta

P = 0,9332

3.Probabilità

Risposta: N = 252

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(10, 5) = (10·9·8·7·6)/(5·4·3·2·1) = 252

Risposta

N = 252

4.Probabilità

Risposta: P = 0,08704

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,4⁵ = 0,01024

P(X = 1) = 5·0,6·0,4⁴ = 0,0768

Sommale

P = 0,01024 + 0,0768 = 0,08704

Risposta

P = 0,08704

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,4798

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (65 − 65)/10 = 0

z₂ = (85,5 − 65)/10 = 2,05

Area compresa

P = Φ(2,05) − Φ(0) = 0,9798 − 0,5 = 0,4798

Risposta

P = 0,4798

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 473 h

z del percentile

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Ritorno a x

x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h

Risposta

x = 473,02 h

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 56,27

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Margine di errore

E = 4,032·5/√6 = 8,23

Intervallo

64,5 ± 8,23 → [56,27, 72,73]

Risposta

limite inferiore = 56,27

8.Intervalli di confidenza

Risposta: σ = 0,459 µm

Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.

Somma dei quadrati

(n − 1)s² = 20·0,6² = 7,2

Limiti per σ²

7,2/34,17 = 0,2107

7,2/9,591 = 0,7507

Limite per σ

σ = √0,2107 = 0,459 µm

Risposta

σ = 0,459 µm

Intervallo al 95% per σ: [0,459, 0,8664] µm.

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 1,2

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Statistica test

t = (122,4 − 120)/2 = 1,2

Risposta

t = 1,2

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 664

Ricava n

n = (2,576·10/1)² = 663,6

Arrotonda per eccesso

n = 664

Risposta

n = 664

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9847

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 905/6 = 150,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 961,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 5961

Coefficiente di determinazione

r² = 961,5²/(157,5·5961) = 0,9847

Risposta

r² = 0,9847

Circa il 98,47% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −3,667

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 118/6 = 19,67

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36

Retta di regressione

b = −36/17,5 = −2,057

a = 19,67 − (−2,057)·3,5 = 26,87

ŷ = 26,87 − 2,057·x

Valore previsto

ŷ = 26,87 + (−2,057)·3,5 = 19,67

Residuo

e = 16 − 19,67 = −3,667

Risposta

e = −3,667

Il punto si trova sotto la retta.

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