Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 60, 34, 30, 51, 32, 11.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è superiore a 146?

μ = 170σ = 12x = 146

P =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 7 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 7

P =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 7 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 4 risposte corrette?

n = 7p = 0,25k = 4

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 250,25 e 252,75 g? Dai P come numero decimale.

μ = 250σ = 5x₁ = 250,25x₂ = 252,75

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i pesi dei sacchetti sono distribuiti normalmente con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trascina la soglia in modo che il 60% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 20 elementi ha media 68,5 e deviazione standard s = 2. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.

n = 20x̄ = 68,5s = 299%t(19) = 2,861

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 9. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1,5?

σ = 9E = 1,595%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 50,93 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 50,93s = 8n = 36

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 163 pazienti su 250 con il trattamento A guariscono, e 75 su 150 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 163n₁ = 250x₂ = 75n₂ = 150

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 5Σx = 15Σy = 85Σx² = 55Σy² = 1533Σxy = 227

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 62?

n = 6ŷ = 62

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 17,21

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 218/6 = 36,33

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 23,67² + (−2,333)² + (−6,333)² + 14,67² + (−4,333)² + (−25,33)² = 1481

Deviazione standard

s = √(1481/5) = 17,21

Risposta

s = 17,21

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,9772

Standardizza

z = −2

Tavola della normale standard

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Risposta

P = 0,9772

3.Probabilità

Risposta: P = 0,7209

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Risposta

P = 0,7209

4.Probabilità

Risposta: P = 0,05768

Formula binomiale

P(X = 4) = 35·0,25⁴·0,75³ = 35·0,003906·0,4219 = 0,05768

Risposta

P = 0,05768

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,1889

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (250,25 − 250)/5 = 0,05

z₂ = (252,75 − 250)/5 = 0,55

Area compresa

P = Φ(0,55) − Φ(0,05) = 0,7088 − 0,5199 = 0,1889

Risposta

P = 0,1889

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 248,8 g

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,4

z dalla tabella

z ≈ −0,25

Di nuovo nelle unità originali

x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g

Risposta

x = 248,8 g

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 69,78

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Margine di errore

E = 2,861·2/√20 = 1,279

Intervallo

68,5 ± 1,279 → [67,22, 69,78]

Risposta

limite superiore = 69,78

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 139

Ricava n

n = (1,96·9/1,5)² = 138,3

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 139

Risposta

n = 139

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 0,6975

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Statistica test

t = (50,93 − 50)/1,333 = 0,6975

Risposta

t = 0,6975

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = 2,998

Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 163/250 = 0,652

p̂₂ = 75/150 = 0,5

p̂ = 238/400 = 0,595

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,595·0,405·(1/250 + 1/150)) = 0,0507

Statistica test

z = (0,652 − 0,5)/0,0507 = 2,998

Risposta

z = 2,998

|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,9439

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 227 − 15·85/5 = −28

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1533 − 85²/5 = 88

Coefficiente di correlazione

r = −28/√(10·88) = −0,9439

Risposta

r = −0,9439

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 5,688

Medie

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 367/6 = 61,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 77,5

Retta di regressione

b = 77,5/17,5 = 4,429

a = 61,17 − 4,429·5,5 = 36,81

ŷ = 36,81 + 4,429·x

Risolvi per x

x = (62 − 36,81)/4,429 = 5,688

Risposta

x = 5,688

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1