Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 58, 14, 20, 24, 47, 29.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è superiore a 174,8?

μ = 170σ = 8x = 174,8

P =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 4 persone da un gruppo di 6? L'ordine non conta.

n = 6k = 4

N =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 3 €. Si vincono 6 € con probabilità 0,1 e 30 € con probabilità 0,02; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €3€6: p = 0,1€30: p = 0,02

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Quale frazione è compresa tra 92,5 e 127,75 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 100σ = 15x₁ = 92,5x₂ = 127,75

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trova il valore x sotto il quale si trova il 10 % dei dati (il 10° percentile).

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

7.Intervalli di confidenzaMedia

La pressione arteriosa di 16 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 3,8 e deviazione standard 5,1. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per la differenza media.

n = 16d̄ = 3,8s_d = 5,190%t(15) = 1,753

E = mmHg

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 15. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 0,5?

σ = 15E = 0,590%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 8 studenti, punteggio medio 37,5, deviazione standard 3,5. Gruppo 2: 9 studenti, punteggio medio 46,1, deviazione standard 9,5. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).

n₁ = 8x̄₁ = 37,5s₁ = 3,5n₂ = 9x̄₂ = 46,1s₂ = 9,5

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 90 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2,5? La deviazione standard è 20. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 20E = 2,590%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 5Σx = 15Σy = 236Σx² = 55Σy² = 11392Σxy = 758

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 51?

n = 5ŷ = 51

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 16,98

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 192/6 = 32

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 26² + (−18)² + (−12)² + (−8)² + 15² + (−3)² = 1442

Deviazione standard

s = √(1442/5) = 16,98

Risposta

s = 16,98

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,2743

Standardizza

z = 0,6

Tavola della normale standard

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Risposta

P = 0,2743

3.Probabilità

Risposta: N = 15

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15

Risposta

N = 15

4.Probabilità

Risposta: E(G) = −1,8 €

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Esiti netti

G: 3 (p = 0,1), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,88)

Valore atteso

E(G) = 3·0,1 + 27·0,02 − 3·0,88 = −1,8 €

Risposta

E(G) = −1,8 €

Un valore negativo significa che in media perdi denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,6593

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5

z₂ = (127,75 − 100)/15 = 1,85

Area compresa

P = Φ(1,85) − Φ(−0,5) = 0,9678 − 0,3085 = 0,6593

Risposta

P = 0,6593

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 448,7 h

z del percentile

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Ritorno a x

x = 500 + −1,282·40 = 448,74 h

Risposta

x = 448,74 h

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 2,235 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valore critico

df = 15, t = 1,753

Margine di errore

E = 1,753·5,1/√16 = 2,235

Risposta

E = 2,235 mmHg

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 2436

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = (1,645·15/0,5)² = 2435

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 2436

Risposta

n = 2436

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −2,412

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varianza combinata

s_p² = (7·3,5² + 8·9,5²)/15 = 53,85

s_p = 7,338

Errore standard

SE = 7,338·√(1/8 + 1/9) = 3,566

Statistica test

t = (37,5 − 46,1)/3,566 = −2,412

Risposta

t = −2,412

Con df = 15, il valore critico bilaterale al 5% è 2,131; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 174

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Ricava n

n = (1,645·20/2,5)² = 173,2

Arrotonda per eccesso

n = 174

Risposta

n = 174

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9944

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 758 − 15·236/5 = 50

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 11392 − 236²/5 = 252,8

Coefficiente di correlazione

r = 50/√(10·252,8) = 0,9944

Risposta

r = 0,9944

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 4,431

Medie

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 244/5 = 48,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51

Retta di regressione

b = 51/10 = 5,1

a = 48,8 − 5,1·4 = 28,4

ŷ = 28,4 + 5,1·x

Risolvi per x

x = (51 − 28,4)/5,1 = 4,431

Risposta

x = 4,431

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