Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 19, 51, 47, 40, 48, 16.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 12. Trova il punteggio z z di un voto pari a 82.

μ = 100σ = 12x = 82

z =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,2, 0,15, 0,35, 0,05

Var(X) =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 1 €. Si vincono 4 € con probabilità 0,3 e 20 € con probabilità 0,02; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €1€4: p = 0,3€20: p = 0,02

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,7330. Trova z con due decimali.

A = 0,7330

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I diametri D dei fori sono normali con media 25,04 mm e deviazione standard 0,02 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,015 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.

foro: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 12 elementi ha media 44,5 e deviazione standard s = 3,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 12x̄ = 44,5s = 3,590%t(11) = 1,796

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 28. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 0,5?

σ = 28E = 0,590%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 100,8 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 100,8s = 10n = 81

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 95 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 3? La deviazione standard è 15. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 15E = 395%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 5Σx = 100Σy = 562Σx² = 2090Σy² = 65458Σxy = 11693

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 3.

n = 6x = 3

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 15,43

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 221/6 = 36,83

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−17,83)² + 14,17² + 10,17² + 3,167² + 11,17² + (−20,83)² = 1191

Deviazione standard

s = √(1191/5) = 15,43

Risposta

s = 15,43

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = −1,5

Standardizza

z = (82 − 100)/12 = −1,5

Risposta

z = −1,5

3.Probabilità

Risposta: Var(X) = 1,688

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 1·0,25 + 2·0,2 + 3·0,15 + 4·0,35 + 5·0,05 = 2,75

Media dei quadrati

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,2 + 9·0,15 + 16·0,35 + 25·0,05 = 9,25

Varianza

Var(X) = 9,25 − 2,75² = 1,688

Risposta

Var(X) = 1,688

4.Probabilità

Risposta: E(G) = 0,6 €

Esiti netti

G: 3 (p = 0,3), 19 (p = 0,02), −1 (p = 0,68)

Valore atteso

E(G) = 3·0,3 + 19·0,02 − 1·0,68 = 0,6 €

Risposta

E(G) = 0,6 €

Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 1,11

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = (1 + 0,7330)/2 = 0,8665

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,8665 dentro la tabella e leggi z.

z = 1,11

Risposta

z = 1,11

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,9452

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della differenza

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

Standardizza

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

Probabilità

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

Risposta

P = 0,9452

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 1,815

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Margine di errore

E = 1,796·3,5/√12 = 1,815

Risposta

E = 1,815

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 8487

Ricava n

n = (1,645·28/0,5)² = 8486

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 8487

Risposta

n = 8487

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 0,72

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Statistica test

t = (100,8 − 100)/1,111 = 0,72

Risposta

t = 0,72

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 97

Ricava n

n = (1,96·15/3)² = 96,04

Arrotonda per eccesso

n = 97

Risposta

n = 97

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,998

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 11693 − 100·562/5 = 453

S_xx = 2090 − 100²/5 = 90

S_yy = 65458 − 562²/5 = 2289

Coefficiente di correlazione

r = 453/√(90·2289) = 0,998

Risposta

r = 0,998

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 46,88

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 355/6 = 59,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 215

Retta di regressione

b = 215/70 = 3,071

a = 59,17 − 3,071·7 = 37,67

ŷ = 37,67 + 3,071·x

Previsione

ŷ = 37,67 + 3,071·3 = 46,88

Risposta

ŷ = 46,88

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