Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 27, 46, 47, 17, 44, 36, 31.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 158?

μ = 170σ = 12x = 158

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,25, 0,35, 0,25

σ =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 3 €. Si vincono 12 € con probabilità 0,1 e 60 € con probabilità 0,05; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €3€12: p = 0,1€60: p = 0,05

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Quale frazione è compresa tra 420 e 548 h? Dai P come numero decimale.

μ = 500σ = 40x₁ = 420x₂ = 548

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trova il valore x sotto il quale si trova il 80 % dei dati (il 80° percentile).

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 30 elementi ha media 99,5 e deviazione standard s = 19. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 30x̄ = 99,5s = 1990%t(29) = 1,699

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

I diametri di 21 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 2,4 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite inferiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 20, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 9,591 e il 2,5% sopra 34,17.

n = 21s = 2,4 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si afferma che la media di una popolazione sia 120; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 24. Un campione casuale di 144 osservazioni ha media 116,52. Verifica H₀: μ = 120 contro H₁: μ < 120. Trova il p-value p.

μ₀ = 120σ = 24n = 144x̄ = 116,52H₁: μ < μ₀

p =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 36 misure ha media 198,7. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.

x̄ = 198,7σ = 20n = 3699%

U =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 66?

n = 6ŷ = 66

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 11,18

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 248/7 = 35,43

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−8,429)² + 10,57² + 11,57² + (−18,43)² + 8,571² + 0,5714² + (−4,429)² = 749,7

Deviazione standard

s = √(749,7/6) = 11,18

Risposta

s = 11,18

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,1587

Standardizza

z = −1

Tavola della normale standard

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Risposta

P = 0,1587

3.Probabilità

Risposta: σ = 1,005

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,35 + 4·0,25 = 2,7

Media dei quadrati

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,35 + 16·0,25 = 8,3

Varianza

Var(X) = 8,3 − 2,7² = 1,01

σ = √1,01 = 1,005

Risposta

σ = 1,005

4.Probabilità

Risposta: E(G) = 1,2 €

Esiti netti

G: 9 (p = 0,1), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,85)

Valore atteso

E(G) = 9·0,1 + 57·0,05 − 3·0,85 = 1,2 €

Risposta

E(G) = 1,2 €

Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,8622

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (420 − 500)/40 = −2

z₂ = (548 − 500)/40 = 1,2

Area compresa

P = Φ(1,2) − Φ(−2) = 0,8849 − 0,02275 = 0,8622

Risposta

P = 0,8622

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 533,7 h

z del percentile

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Ritorno a x

x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h

Risposta

x = 533,66 h

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 105,4

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 29, t = 1,699

Margine di errore

E = 1,699·19/√30 = 5,894

Intervallo

99,5 ± 5,894 → [93,61, 105,4]

Risposta

limite superiore = 105,4

8.Intervalli di confidenza

Risposta: σ = 1,836 µm

Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.

Somma dei quadrati

(n − 1)s² = 20·2,4² = 115,2

Limiti per σ²

115,2/34,17 = 3,371

115,2/9,591 = 12,01

Limite per σ

σ = √3,371 = 1,836 µm

Risposta

σ = 1,836 µm

Intervallo al 95% per σ: [1,836, 3,466] µm.

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: p = 0,04093

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistica test

SE = σ/√n = 24/√144 = 2

z = (116,52 − 120)/2 = −1,74

Area della coda

Φ(1,74) = 0,9591

1 − Φ(1,74) = 0,0409

p-value

p = 0,04093

Risposta

p = 0,04093

p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 207,3

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Margine di errore

E = 2,576·20/√36 = 8,587

Limite dell'intervallo

U = 198,7 + 8,587 = 207,3

Risposta

U = 207,3

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,8885

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 344/5 = 68,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 418,8

Coefficiente di determinazione

r² = 61²/(10·418,8) = 0,8885

Risposta

r² = 0,8885

Circa il 88,85% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 3,517

Medie

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 426/6 = 71

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 89

Retta di regressione

b = 89/17,5 = 5,086

a = 71 − 5,086·4,5 = 48,11

ŷ = 48,11 + 5,086·x

Risolvi per x

x = (66 − 48,11)/5,086 = 3,517

Risposta

x = 3,517

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