Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 26, 41, 12, 56, 56.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 12. Trova il punteggio z z di un voto pari a 58.

μ = 70σ = 12x = 58

z =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 7 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 7

P =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 10 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 5 risposte corrette?

n = 10p = 0,4k = 5

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,9643. Trova z con due decimali.

A = 0,9643

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i punteggi del QI sono distribuiti normalmente con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trascina la soglia in modo che il 15% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 100 puntiσ = 15 punti15%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 10 elementi ha media 82 e deviazione standard s = 7. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 10x̄ = 82s = 795%t(9) = 2,262

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 10 parcelle, resa media 10,5 kg, deviazione standard 1 kg. Gruppo di parcelle 2: 6 parcelle, media 0 kg, deviazione standard 5,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 10,5s₁ = 1n₂ = 6x̄₂ = 0s₂ = 5,590%t(14) = 1,761

E = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

7 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è −1,25 e la deviazione standard delle differenze è 2,2. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μ_d = 0.

n = 7d̄ = −1,25s_d = 2,2

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale con α = 0,05 deve rilevare uno spostamento della media di 3 unità con una potenza del 80%. La deviazione standard è 28. Trova la dimensione minima del campione n.

α = 0,05potenza = 80%δ = 3σ = 28z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 6

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 109?

n = 6ŷ = 109

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 19,21

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 191/5 = 38,2

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−12,2)² + 2,8² + (−26,2)² + 17,8² + 17,8² = 1477

Deviazione standard

s = √(1477/4) = 19,21

Risposta

s = 19,21

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = −1

Standardizza

z = (58 − 70)/12 = −1

Risposta

z = −1

3.Probabilità

Risposta: P = 0,7209

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Risposta

P = 0,7209

4.Probabilità

Risposta: P = 0,2007

Formula binomiale

P(X = 5) = 252·0,4⁵·0,6⁵ = 252·0,01024·0,07776 = 0,2007

Risposta

P = 0,2007

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 2,1

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = (1 + 0,9643)/2 = 0,9821

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,9821 dentro la tabella e leggi z.

z = 2,10

Risposta

z = 2,10

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 84,4 punti

Area a sinistra

Φ(z) = 0,15

z dalla tabella

z ≈ −1,04

Di nuovo nelle unità originali

x = 100 − 1,04·15 = 84,4 punti

Risposta

x = 84,4 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 5,007

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Margine di errore

E = 2,262·7/√10 = 5,007

Risposta

E = 5,007

8.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 3,077 kg

Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.

Deviazione standard combinata

s_p² = (9·1² + 5·5,5²)/14 = 11,45

s_p = 3,383

Margine di errore

E = 1,761·3,383·√(1/10 + 1/6) = 3,077

Risposta

E = 3,077 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −1,503

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard della differenza media

SE = 2,2/√7 = 0,8315

Statistica test

t = −1,25/0,8315 = −1,503

Risposta

t = −1,503

Con df = 6, il valore critico bilaterale al 5% è 2,447; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 539

Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = ((1,645 + 0,842)·28/3)² = 538,8

Arrotonda per eccesso

n = 539

Risposta

n = 539

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9403

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 370/6 = 61,67

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 69

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 289,3

Coefficiente di determinazione

r² = 69²/(17,5·289,3) = 0,9403

Risposta

r² = 0,9403

Circa il 94,03% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 19,17

Medie

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 649/6 = 108,2

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 347

Retta di regressione

b = 347/70 = 4,957

a = 108,2 − 4,957·19 = 13,98

ŷ = 13,98 + 4,957·x

Risolvi per x

x = (109 − 13,98)/4,957 = 19,17

Risposta

x = 19,17

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