Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 31, 14, 42, 56, 26.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 12. Trova il punteggio z z di un voto pari a 188.

μ = 170σ = 12x = 188

z =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 2 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 2

P =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 7 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,5, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 4 risposte corrette?

n = 7p = 0,5k = 4

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Quale frazione è compresa tra 30,5 e 41 min? Dai P come numero decimale.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,5x₂ = 41

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I diametri D dei fori sono normali con media 25,02 mm e deviazione standard 0,01 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,015 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.

foro: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 11 elementi ha media 40 e deviazione standard s = 17. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.

n = 11x̄ = 40s = 1799%t(10) = 3,169

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 11. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1?

σ = 11E = 190%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 6 studenti, punteggio medio 45, deviazione standard 7. Gruppo 2: 8 studenti, punteggio medio 28,1, deviazione standard 10,5. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).

n₁ = 6x̄₁ = 45s₁ = 7n₂ = 8x̄₂ = 28,1s₂ = 10,5

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 23 pazienti su 150 con il trattamento A guariscono, e 5 su 80 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 23n₁ = 150x₂ = 5n₂ = 80

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 45?

n = 5ŷ = 45

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 15,97

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 169/5 = 33,8

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−2,8)² + (−19,8)² + 8,2² + 22,2² + (−7,8)² = 1021

Deviazione standard

s = √(1021/4) = 15,97

Risposta

s = 15,97

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = 1,5

Standardizza

z = (188 − 170)/12 = 1,5

Risposta

z = 1,5

3.Probabilità

Risposta: P = 0,3056

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Risposta

P = 0,3056

4.Probabilità

Risposta: P = 0,2734

Formula binomiale

P(X = 4) = 35·0,5⁴·0,5³ = 35·0,0625·0,125 = 0,2734

Risposta

P = 0,2734

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,5319

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25

z₂ = (41 − 32)/6 = 1,5

Area compresa

P = Φ(1,5) − Φ(−0,25) = 0,9332 − 0,4013 = 0,5319

Risposta

P = 0,5319

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,8665

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della differenza

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

Standardizza

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

Probabilità

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

Risposta

P = 0,8665

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 56,24

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Margine di errore

E = 3,169·17/√11 = 16,24

Intervallo

40 ± 16,24 → [23,76, 56,24]

Risposta

limite superiore = 56,24

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 328

Ricava n

n = (1,645·11/1)² = 327,4

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 328

Risposta

n = 328

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 3,4

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varianza combinata

s_p² = (5·7² + 7·10,5²)/12 = 84,73

s_p = 9,205

Errore standard

SE = 9,205·√(1/6 + 1/8) = 4,971

Statistica test

t = (45 − 28,1)/4,971 = 3,4

Risposta

t = 3,4

Con df = 12, il valore critico bilaterale al 5% è 2,179; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = 2,007

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 23/150 = 0,1533

p̂₂ = 5/80 = 0,0625

p̂ = 28/230 = 0,1217

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,1217·0,8783·(1/150 + 1/80)) = 0,04527

Statistica test

z = (0,1533 − 0,0625)/0,04527 = 2,007

Risposta

z = 2,007

|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,6849

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 286/5 = 57,2

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 29

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 122,8

Coefficiente di determinazione

r² = 29²/(10·122,8) = 0,6849

Risposta

r² = 0,6849

Circa il 68,49% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 16,07

Medie

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 288/5 = 57,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

Retta di regressione

b = 172/40 = 4,3

a = 57,6 − 4,3·19 = −24,1

ŷ = −24,1 + 4,3·x

Risolvi per x

x = (45 − (−24,1))/4,3 = 16,07

Risposta

x = 16,07

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