Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare
P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribuzione normale

Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Sotto x
P(X < x) = Φ(z)
Sopra x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentile
x = μ + z·σ

Metodo

  1. Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
  3. Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
  4. Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

  1. Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
  2. Trova il valore critico per il livello di confidenza.
  3. Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
  4. Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n

Metodo

  1. Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
  2. Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
  3. Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
  4. Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza
b = Sxy/Sxx
Intercetta
a = ȳ − b·x̄
Correlazione
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residuo
e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia
253035404550

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 31, 34, 23, 52, 46.

n = 5
s =
2.Statistica descrittivaDifficile
z −2−1012

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 44?

μ = 60σ = 8x = 44
P =
3.ProbabilitàMedia
P(almeno un sei) = ??1?2?3?4?5?6?7P(sei) = 1/6 a ogni lancio

Si lancia un dado equo 7 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 7
P =
4.ProbabilitàDifficile
n = 7, p = 0,1: P(X = 1) = ?k01234567

Un test ha 7 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,1, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 1 risposte corrette?

n = 7p = 0,1k = 1
P =
5.Distribuzione normaleMedia
6267P = ?

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 62 e 67 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 65σ = 10x1 = 62x2 = 67
P =
6.Distribuzione normaleDifficile
0,03 mm0D − d?

I diametri D dei fori sono normali con media 25,03 mm e deviazione standard 0,015 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,01 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.

foro: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
7.Intervalli di confidenzaMedia
n = 7, s = 4LUx̄ = 41E = ?99%

Un campione di 7 elementi ha media 41 e deviazione standard s = 4. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 99 % per la media.

n = 7x̄ = 41s = 499%t(6) = 3,707
E =
8.Intervalli di confidenzaDifficile
σ = 16, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 390%

La deviazione standard della popolazione è 16. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?

σ = 16E = 390%
n =
9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
t −2,0302,03

Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 201 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201s = 5n = 36
t =
10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
σ = 8, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,590%

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 90 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2,5? La deviazione standard è 8. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 8E = 2,590%
n =
11.Regressione lineare e correlazioneMedia
xy18552074227324802686xy2025607080

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 5Σx = 110Σy = 368Σx² = 2460Σy² = 27626Σxy = 8232
r =
12.Regressione lineare e correlazioneDifficile
xy2741562182710331238xy51010203040x = 3

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 3.

n = 6x = 3
ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 11,69

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 186/5 = 37,2

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−6,2)² + (−3,2)² + (−14,2)² + 14,8² + 8,8² = 546,8

Deviazione standard

s = √(546,8/4) = 11,69

Risposta

s = 11,69
2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,02275

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Standardizza

z = −2

Tavola della normale standard

Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275

Risposta

P = 0,02275
3.Probabilità

Risposta: P = 0,7209

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Risposta

P = 0,7209
4.Probabilità

Risposta: P = 0,372

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomiale

P(X = 1) = 7·0,11·0,96 = 7·0,1·0,5314 = 0,372

Risposta

P = 0,372
5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,1972

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (62 − 65)/10 = −0,3
z₂ = (67 − 65)/10 = 0,2

Area compresa

P = Φ(0,2) − Φ(−0,3) = 0,5793 − 0,3821 = 0,1972

Risposta

P = 0,1972
6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,9515

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della differenza

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Standardizza

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Probabilità

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Risposta

P = 0,9515
7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 5,604

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Margine di errore

E = 3,707·4/√7 = 5,604

Risposta

E = 5,604
8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 77

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = (1,645·16/3)² = 76,97

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 77

Risposta

n = 77
9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 1,2

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Statistica test

t = (201 − 200)/0,8333 = 1,2

Risposta

t = 1,2
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| < 2.03, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 28

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Ricava n

n = (1,645·8/2,5)² = 27,71

Arrotonda per eccesso

n = 28

Risposta

n = 28
11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9243

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

Sxy = 8232 − 110·368/5 = 136
Sxx = 2460 − 110²/5 = 40
Syy = 27626 − 368²/5 = 541,2

Coefficiente di correlazione

r = 136/√(40·541,2) = 0,9243

Risposta

r = 0,9243
12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 11,21

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 141/6 = 23,5

Somme dei quadrati e dei prodotti

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 215

Retta di regressione

b = 215/70 = 3,071
a = 23,5 − 3,071·7 = 2
ŷ = 2 + 3,071·x

Previsione

ŷ = 2 + 3,071·3 = 11,21

Risposta

ŷ = 11,21

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