Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 31, 38, 26, 15, 40, 47.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 40. Trova il punteggio z z di un voto pari a 524.

μ = 500σ = 40x = 524

z =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,25, 0,25, 0,3

σ =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 1 €. Si vincono 4 € con probabilità 0,2 e 50 € con probabilità 0,01; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €1€4: p = 0,2€50: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,9643. Trova z con due decimali.

A = 0,9643

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Trova il valore x sotto il quale si trova il 10 % dei dati (il 10° percentile).

μ = 32σ = 6P = 10%

x = min

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 6 elementi ha media 101,5 e deviazione standard s = 17,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 6x̄ = 101,5s = 17,595%t(5) = 2,571

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 20. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1?

σ = 20E = 195%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 10 studenti, punteggio medio 57,5, deviazione standard 8. Gruppo 2: 6 studenti, punteggio medio 59,7, deviazione standard 5,5. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).

n₁ = 10x̄₁ = 57,5s₁ = 8n₂ = 6x̄₂ = 59,7s₂ = 5,5

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale di H₀: μ = 80 contro H₁: μ > 80 viene eseguito con α = 0,10 su un campione di 100; la deviazione standard è nota e vale 20. In realtà la media è 85,2. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.

μ₀ = 80μ = 85,2σ = 20n = 100α = 0,10

1 − β = %

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 45?

n = 5ŷ = 45

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 11,37

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 197/6 = 32,83

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−1,833)² + 5,167² + (−6,833)² + (−17,83)² + 7,167² + 14,17² = 646,8

Deviazione standard

s = √(646,8/5) = 11,37

Risposta

s = 11,37

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = 0,6

Standardizza

z = (524 − 500)/40 = 0,6

Risposta

z = 0,6

3.Probabilità

Risposta: σ = 11,08

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 10·0,2 + 20·0,25 + 30·0,25 + 40·0,3 = 26,5

Media dei quadrati

E(X²) = 100·0,2 + 400·0,25 + 900·0,25 + 1600·0,3 = 825

Varianza

Var(X) = 825 − 26,5² = 122,8

σ = √122,8 = 11,08

Risposta

σ = 11,08

4.Probabilità

Risposta: E(G) = 0,3 €

Esiti netti

G: 3 (p = 0,2), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,79)

Valore atteso

E(G) = 3·0,2 + 49·0,01 − 1·0,79 = 0,3 €

Risposta

E(G) = 0,3 €

Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 2,1

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = (1 + 0,9643)/2 = 0,9821

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,9821 dentro la tabella e leggi z.

z = 2,10

Risposta

z = 2,10

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 24,31 min

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

z del percentile

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Ritorno a x

x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min

Risposta

x = 24,31 min

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 119,9

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 5, t = 2,571

Margine di errore

E = 2,571·17,5/√6 = 18,37

Intervallo

101,5 ± 18,37 → [83,13, 119,9]

Risposta

limite superiore = 119,9

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 1537

Ricava n

n = (1,96·20/1)² = 1537

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 1537

Risposta

n = 1537

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −0,5911

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varianza combinata

s_p² = (9·8² + 5·5,5²)/14 = 51,95

s_p = 7,207

Errore standard

SE = 7,207·√(1/10 + 1/6) = 3,722

Statistica test

t = (57,5 − 59,7)/3,722 = −0,5911

Risposta

t = −0,5911

Con df = 14, il valore critico bilaterale al 5% è 2,145; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: 1 − β = 90,62 %

Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Media campionaria critica

SE = 20/√100 = 2

x̄_c = 80 + 1,282·2 = 82,56

z sotto la media vera

z = (82,56 − 85,2)/2 = −1,318

Potenza

potenza = P(Z > −1,318) = 90,62%

1 − β = 90,62%

Risposta

1 − β = 90,62%

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9423

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 506/5 = 101,2

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 702,8

Coefficiente di correlazione

r = 158/√(40·702,8) = 0,9423

Risposta

r = 0,9423

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 5,444

Medie

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 199/5 = 39,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36

Retta di regressione

b = 36/10 = 3,6

a = 39,8 − 3,6·4 = 25,4

ŷ = 25,4 + 3,6·x

Risolvi per x

x = (45 − 25,4)/3,6 = 5,444

Risposta

x = 5,444

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