Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 31, 25, 56, 32, 57, 29.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 195?

μ = 170σ = 20x = 195

P =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 5 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 5

P =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 11 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,2, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 2 risposte corrette?

n = 11p = 0,2k = 2

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,7959. Trova z con due decimali.

A = 0,7959

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i pesi dei sacchetti sono distribuiti normalmente con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trascina la soglia in modo che il 75% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 250 gσ = 5 g75%

x = g

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 10 elementi ha media 82 e deviazione standard s = 9,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 10x̄ = 82s = 9,595%t(9) = 2,262

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 21. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 5?

σ = 21E = 595%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

11 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è −4,08 e la deviazione standard delle differenze è 5,2. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = −4,08s_d = 5,2

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 81 misure ha media 48,5. La deviazione standard della popolazione è 12. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.

x̄ = 48,5σ = 12n = 8199%

U =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 5Σx = 100Σy = 410Σx² = 2040Σy² = 34186Σxy = 8348

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 63?

n = 5ŷ = 63

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 14,28

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 230/6 = 38,33

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−7,333)² + (−13,33)² + 17,67² + (−6,333)² + 18,67² + (−9,333)² = 1019

Deviazione standard

s = √(1019/5) = 14,28

Risposta

s = 14,28

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,8944

Standardizza

z = 1,25

Tavola della normale standard

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Risposta

P = 0,8944

3.Probabilità

Risposta: P = 0,5981

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Risposta

P = 0,5981

4.Probabilità

Risposta: P = 0,2953

Formula binomiale

P(X = 2) = 55·0,2²·0,8⁹ = 55·0,04·0,1342 = 0,2953

Risposta

P = 0,2953

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 1,27

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = (1 + 0,7959)/2 = 0,8980

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,8980 dentro la tabella e leggi z.

z = 1,27

Risposta

z = 1,27

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 246,7 g

Area a sinistra

Φ(z) = 0,25

z dalla tabella

z ≈ −0,67

Di nuovo nelle unità originali

x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g

Risposta

x = 246,7 g

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 88,8

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Margine di errore

E = 2,262·9,5/√10 = 6,795

Intervallo

82 ± 6,795 → [75,2, 88,8]

Risposta

limite superiore = 88,8

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 68

Ricava n

n = (1,96·21/5)² = 67,77

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 68

Risposta

n = 68

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −2,602

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard della differenza media

SE = 5,2/√11 = 1,568

Statistica test

t = −4,08/1,568 = −2,602

Risposta

t = −2,602

Con df = 10, il valore critico bilaterale al 5% è 2,228; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 51,93

Margine di errore

E = 2,576·12/√81 = 3,435

Limite dell'intervallo

U = 48,5 + 3,435 = 51,93

Risposta

U = 51,93

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9836

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 8348 − 100·410/5 = 148

S_xx = 2040 − 100²/5 = 40

S_yy = 34186 − 410²/5 = 566

Coefficiente di correlazione

r = 148/√(40·566) = 0,9836

Risposta

r = 0,9836

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 5,56

Medie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 294/5 = 58,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 75

Retta di regressione

b = 75/10 = 7,5

a = 58,8 − 7,5·5 = 21,3

ŷ = 21,3 + 7,5·x

Risolvi per x

x = (63 − 21,3)/7,5 = 5,56

Risposta

x = 5,56

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