Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 38, 38, 59, 33, 34, 16, 58.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 10. Trova il punteggio z z di un voto pari a 90.

μ = 100σ = 10x = 90

z =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,3, 0,15, 0,2, 0,1

σ =

4.ProbabilitàDifficile

X ha la distribuzione mostrata e Y = 10X + 10. Trova la deviazione standard σ_Y di Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,3, 0,1, 0,35Y = 10X + 10

σ_Y =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,6528. Trova z con due decimali.

A = 0,6528

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 80% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 500 hσ = 40 h80%

x = h

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un intervallo di confidenza al 99% per una media, basato su 36 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 4,9. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 90% basato su 324 osservazioni?

99%n₁ = 36E₁ = 4,990%n₂ = 324

E₂ =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 29. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?

σ = 29E = 390%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 64 studenti ha un punteggio medio di 500,7 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 500,7s = 8n = 64

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 64 misure ha media 118,3. La deviazione standard della popolazione è 15. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.

x̄ = 118,3σ = 15n = 6499%

L =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 64?

n = 5ŷ = 64

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 15,01

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 276/7 = 39,43

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−1,429)² + (−1,429)² + 19,57² + (−6,429)² + (−5,429)² + (−23,43)² + 18,57² = 1352

Deviazione standard

s = √(1352/6) = 15,01

Risposta

s = 15,01

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = −1

Standardizza

z = (90 − 100)/10 = −1

Risposta

z = −1

3.Probabilità

Risposta: σ = 1,319

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 0·0,25 + 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,2 + 4·0,1 = 1,6

Media dei quadrati

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,2 + 16·0,1 = 4,3

Varianza

Var(X) = 4,3 − 1,6² = 1,74

σ = √1,74 = 1,319

Risposta

σ = 1,319

4.Probabilità

Risposta: σ_Y = 24,06

Dispersione di X

μ = 3,1, Var(X) = 5,79, σ_X = 2,406

Trasformazione lineare

σ_Y = |10|·2,406 = 24,06

Risposta

σ_Y = 24,06

La media invece si sposta: E(Y) = 10·3,1 + 10 = 41.

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 0,94

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = (1 + 0,6528)/2 = 0,8264

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,8264 dentro la tabella e leggi z.

z = 0,94

Risposta

z = 0,94

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 534 h

Area a sinistra

Φ(z) = 0,8

z dalla tabella

z ≈ 0,84

Di nuovo nelle unità originali

x = 500 + 0,84·40 = 534 h

Risposta

x = 534 h

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E₂ = 1,043

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rapporto dei margini

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(36/324) = 0,2129

Nuovo margine

E₂ = 4,9·0,2129 = 1,043

Risposta

E₂ = 1,043

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 253

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = (1,645·29/3)² = 252,9

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 253

Risposta

n = 253

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 0,7

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Statistica test

t = (500,7 − 500)/1 = 0,7

Risposta

t = 0,7

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: L = 113,5

Margine di errore

E = 2,576·15/√64 = 4,83

Limite dell'intervallo

L = 118,3 − 4,83 = 113,5

Risposta

L = 113,5

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9589

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 383/5 = 76,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 701,2

Coefficiente di determinazione

r² = 164²/(40·701,2) = 0,9589

Risposta

r² = 0,9589

Circa il 95,89% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 20,9

Medie

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 304/5 = 60,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142

Retta di regressione

b = 142/40 = 3,55

a = 60,8 − 3,55·20 = −10,2

ŷ = −10,2 + 3,55·x

Risolvi per x

x = (64 − (−10,2))/3,55 = 20,9

Risposta

x = 20,9

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