Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 24, 11, 28, 43, 40, 31, 20.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 56,25?

μ = 50σ = 5x = 56,25

P =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 3 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 3

P =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 1 €. Si vincono 3 € con probabilità 0,15 e 20 € con probabilità 0,05; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €1€3: p = 0,15€20: p = 0,05

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 242,25 e 255 g? Dai P come numero decimale.

μ = 250σ = 5x₁ = 242,25x₂ = 255

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Trova il valore x sotto il quale si trova il 5 % dei dati (il 5° percentile).

μ = 32σ = 6P = 5%

x = min

7.Intervalli di confidenzaMedia

La pressione arteriosa di 7 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 6,5 e deviazione standard 0,7. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per la differenza media.

n = 7d̄ = 6,5s_d = 0,790%t(6) = 1,943

limite inferiore = mmHg

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 6 parcelle, resa media 100 kg, deviazione standard 4,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 11 parcelle, media 90,5 kg, deviazione standard 5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 100s₁ = 4,5n₂ = 11x̄₂ = 90,5s₂ = 595%t(15) = 2,131

limite superiore = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 49 studenti ha un punteggio medio di 77,74 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 77,74s = 8n = 49

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 25 misure ha media 64,6. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.

x̄ = 64,6σ = 20n = 2590%

U =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 6

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 17.

n = 6x = 17

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 11,16

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 197/7 = 28,14

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−4,143)² + (−17,14)² + (−0,1429)² + 14,86² + 11,86² + 2,857² + (−8,143)² = 746,9

Deviazione standard

s = √(746,9/6) = 11,16

Risposta

s = 11,16

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,8944

Standardizza

z = 1,25

Tavola della normale standard

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Risposta

P = 0,8944

3.Probabilità

Risposta: P = 0,4213

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Risposta

P = 0,4213

4.Probabilità

Risposta: E(G) = 0,45 €

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Esiti netti

G: 2 (p = 0,15), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,8)

Valore atteso

E(G) = 2·0,15 + 19·0,05 − 1·0,8 = 0,45 €

Risposta

E(G) = 0,45 €

Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,7808

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (242,25 − 250)/5 = −1,55

z₂ = (255 − 250)/5 = 1

Area compresa

P = Φ(1) − Φ(−1,55) = 0,8413 − 0,06057 = 0,7808

Risposta

P = 0,7808

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 22,13 min

z del percentile

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Ritorno a x

x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min

Risposta

x = 22,13 min

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 5,986 mmHg

Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.

Valore critico

df = 6, t = 1,943

Margine di errore

E = 1,943·0,7/√7 = 0,5141

Intervallo

6,5 ± 0,5141 → [5,986, 7,014]

Risposta

limite inferiore = 5,986 mmHg

8.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 14,73 kg

Deviazione standard combinata

s_p² = (5·4,5² + 10·5²)/15 = 23,42

s_p = 4,839

Margine di errore

E = 2,131·4,839·√(1/6 + 1/11) = 5,234

Intervallo

9,5 ± 5,234 → [4,266, 14,73]

Risposta

limite superiore = 14,73 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,397

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Statistica test

t = (77,74 − 75)/1,143 = 2,397

Risposta

t = 2,397

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 71,18

Margine di errore

E = 1,645·20/√25 = 6,58

Limite dell'intervallo

U = 64,6 + 6,58 = 71,18

Risposta

U = 71,18

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,991

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 442/6 = 73,67

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 410

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2423

Coefficiente di determinazione

r² = 410²/(70·2423) = 0,991

Risposta

r² = 0,991

Circa il 99,1% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 86,68

Medie

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 590/6 = 98,33

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 408

Retta di regressione

b = 408/70 = 5,829

a = 98,33 − 5,829·19 = −12,41

ŷ = −12,41 + 5,829·x

Previsione

ŷ = −12,41 + 5,829·17 = 86,68

Risposta

ŷ = 86,68

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