Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 26, 54, 49, 33, 54.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 100. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 700?

μ = 500σ = 100x = 700

P =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 6 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 6

P =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 7 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 7p = 0,4

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Quale frazione è compresa tra 76,75 e 107,5 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 100σ = 15x₁ = 76,75x₂ = 107,5

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i voti di un esame sono distribuiti normalmente con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trascina la soglia in modo che il 30% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 65 puntiσ = 10 punti30%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 6 elementi ha media 114,5 e deviazione standard s = 7. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 6x̄ = 114,5s = 795%t(5) = 2,571

limite inferiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

I diametri di 20 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 8,4 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 19, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 8,907 e il 2,5% sopra 32,852.

n = 20s = 8,4 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 100 pezzi ha lunghezza media 52,5 mm, e la deviazione standard nota della linea è 3 mm. Linea 2: un campione di 80 pezzi ha media 50 mm, deviazione standard nota 8 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).

n₁ = 100x̄₁ = 52,5 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 80x̄₂ = 50 mmσ₂ = 8 mm

z =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale con α = 0,01 deve rilevare uno spostamento della media di 5 unità con una potenza del 80%. La deviazione standard è 10. Trova la dimensione minima del campione n.

α = 0,01potenza = 80%δ = 5σ = 10z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 12,91

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 216/5 = 43,2

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−17,2)² + 10,8² + 5,8² + (−10,2)² + 10,8² = 666,8

Deviazione standard

s = √(666,8/4) = 12,91

Risposta

s = 12,91

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,9772

Standardizza

z = 2

Tavola della normale standard

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Risposta

P = 0,9772

3.Probabilità

Risposta: P = 0,6651

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Risposta

P = 0,6651

4.Probabilità

Risposta: P = 0,1586

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,6⁷ = 0,02799

P(X = 1) = 7·0,4·0,6⁶ = 0,1306

Sommale

P = 0,02799 + 0,1306 = 0,1586

Risposta

P = 0,1586

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,6309

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55

z₂ = (107,5 − 100)/15 = 0,5

Area compresa

P = Φ(0,5) − Φ(−1,55) = 0,6915 − 0,06057 = 0,6309

Risposta

P = 0,6309

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 70,2 punti

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,7

z dalla tabella

z ≈ 0,52

Di nuovo nelle unità originali

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 punti

Risposta

x = 70,2 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 107,2

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 5, t = 2,571

Margine di errore

E = 2,571·7/√6 = 7,347

Intervallo

114,5 ± 7,347 → [107,2, 121,8]

Risposta

limite inferiore = 107,2

8.Intervalli di confidenza

Risposta: σ = 12,27 µm

Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.

Somma dei quadrati

(n − 1)s² = 19·8,4² = 1341

Limiti per σ²

1341/32,852 = 40,81

1341/8,907 = 150,5

Limite per σ

σ = √150,5 = 12,27 µm

Risposta

σ = 12,27 µm

Intervallo al 95% per σ: [6,388, 12,27] µm.

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = 2,65

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Errore standard della differenza

SE = √(3²/100 + 8²/80) = √0,89 = 0,9434

Statistica test

z = (52,5 − 50)/0,9434 = 2,65

Risposta

z = 2,65

|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 41

Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = ((2,326 + 0,842)·10/5)² = 40,14

Arrotonda per eccesso

n = 41

Risposta

n = 41

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,9684

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 92/5 = 18,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 109,2

Coefficiente di correlazione

r = −32/√(10·109,2) = −0,9684

Risposta

r = −0,9684

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 20,45

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 122/5 = 24,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

Retta di regressione

b = 158/40 = 3,95

a = 24,4 − 3,95·6 = 0,7

ŷ = 0,7 + 3,95·x

Previsione

ŷ = 0,7 + 3,95·5 = 20,45

Risposta

ŷ = 20,45

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