Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,6293. Trova z con due decimali.
Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 99 % dei dati (il 99° percentile).
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 40 telefoni, media 74 h, deviazione standard nota 9 h. Modello 2: 100 telefoni, media 70,5 h, deviazione standard nota 10 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Uno studio pilota indica che circa 0,2 dei prodotti sono difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 99% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,025?
Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 5 studenti, punteggio medio 86, deviazione standard 7. Gruppo 2: 7 studenti, punteggio medio 90,8, deviazione standard 9. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).
Un test z unilaterale di H₀: μ = 80 contro H₁: μ < 80 viene eseguito con α = 0.10 su un campione di 36; la deviazione standard è nota e vale 12. In realtà la media è 77.2. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 4,5.
La tabella di contingenza riporta le frequenze osservate. Per un test chi quadrato di indipendenza, trova la frequenza attesa E per la cella “urbano, alto”.
Un test chi quadrato di bontà dell’adattamento verifica se le frequenze in 8 categorie seguono una distribuzione di Poisson la cui media è stimata dagli stessi dati. Usando la tabella, trova il valore critico χ²crit al livello di significatività α = 0,01.
Risposta: z = −0,33
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Trova 0,3707 dentro la tabella e leggi z.
Risposta: x = 194,3 cm
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Risposta: limite inferiore = 0,6389 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
Risposta: n = 1699
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Risposta: t = −0,9926
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Con df = 10, il valore critico bilaterale al 5% è 2,228; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.
Risposta: β = 45,3 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Risposta: r² = 0,977
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Circa il 97,7% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
Risposta: ŷ = 9,6
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Risposta: E = 32,9
Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.
Risposta: χ²crit = 16,81
Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.
Rifiuta H₀ se il χ² calcolato è maggiore di questo valore.
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