Analisi delle strutture: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d

Metodo

  1. Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
  2. Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
  3. Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
  4. Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
  2. Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
  3. Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
  4. Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
  2. Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
  4. Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria
δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata
δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo
δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti
δ = δ1 + δ2

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera
K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica
σcr = Pcr/A
Snellezza
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Reazioni vincolari delle traviMedia
w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​ = ?3,5 m2,5 m

La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 3,5 m dalla parete. Trova la reazione verticale RA alla parete.

L = 6 mP = 50 kN in 3,5 mw = 3 kN/m da 0 a 6 m
RA = kN
2.Reazioni vincolari delle traviDifficile
P = 35 kN, 60°Q = 75 kNABα = ?1 m6 m3 m

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Un carico P agisce a 1 m da A, inclinato di 60° rispetto all’orizzontale, e un carico verticale Q agisce a 7 m da A. Trova l’angolo α tra la reazione totale nella cerniera A e l’orizzontale.

L = 10 mP = 35 kN in 1 m, θ = 60°Q = 75 kN in 7 m
α = °
3.Taglio e momento flettenteMedia
4 kN/m55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

55 kN @ 2 m4 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Taglio e momento flettenteDifficile
4 kN/m20 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

20 kN @ 12 m15 kN @ 6 m4 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
ABBCACACB40 kN8 m1 m2 m

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 8 maltezza = 2 mB è a 1 m da Acarico verticale = 40 kN
FAC = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
ABCDEFGH15 kN10 kN25 kN10 kN10 kN25 kN4 × 3 m3 m

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

B: 15 kN ↓C: 10 kN ↓D: 25 kN ↓F: 10 kN ↓H: 10 kN ↓H: 25 kN ←
  1. 1asta AB
  2. 2asta BC
  3. 3asta CD
  4. 4asta DE
  5. 5asta FG
  6. 6asta GH
  7. 7asta AF
  8. 8asta HE
  9. 9asta BF
  10. 10asta CG
  11. 11asta DH
  12. 12asta FC
  13. 13asta HC
7.Freccia della traveMedia
w = 12 kN/mδL = 1,5 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δmax, in mezzeria.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Freccia della traveDifficile
w = 10 kN/mAB4 m

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. EI è costante. Trova la reazione RB al puntello.

L = 4 mw = 10 kN/m
RB = kN
9.Instabilità delle colonneMedia
PL = 6 md = 40 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (alluminio)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Instabilità delle colonneDifficile
P = 35 kNL = 2 md = ?sezione trasversale

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Deve portare 35 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 35 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)
d = mm

3Soluzioni

1.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: RA = 68 kN

Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale RA e un momento di reazione MA. ΣFy = 0 dà RA, e i momenti rispetto alla parete danno MA = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.

Risultante del carico distribuito

W = 3·6 = 18 kN, x̄ = 3 m

Equilibrio verticale

RA = P + W = 50 + 18 = 68 kN

Risposta

RA = 68 kN
2.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: α = 70,63 °

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Componenti di P

Pv = 35·sin 60° = 30,31 kN
Ph = 35·cos 60° = 17,5 kN

Reazioni

ΣMA = 0: RB·10 = 30,31·1 + 75·7 → RB = 55,53 kN
Ay = 30,31 + 75 − 55,53 = 49,78 kN
Ax = Ph = 17,5 kN

Direzione in A

α = atan(Ay/Ax) = atan(49,78/17,5) = 70,63°

Risposta

α = 70,63°
3.Taglio e momento flettente

Risposta: C (x = 2 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R1 = 48,67 kN, R2 = 30,33 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

MA = 0, MB = 46,67, MC = 89,33 kN·m, MD = 73, ME = 52,67, MF = 28,33, MG = 0

Risposta

Punto C: MC = 89,33 kN·m
4.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 8 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R1 = 9,75 kN, R2 = 57,25 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

MA = 0, MB = 11,5, MC = 7, MD = −13,5, ME = −80 kN·m, MF = −40, MG = 0

Risposta

Punto E: ME = −80 kN·m
5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: FAC = 17,5 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣMA = 0: Cy·8 = 40·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 5 = 35 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 2/7,28 = 0,2747, cos γ = 7/7,28 = 0,9615
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5/0,2747 = −18,2 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−18,2)·0,9615 = 17,5 kN

Risposta

FAC = 17,5 kN (trazione)
6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta CG

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo G

FG e GH stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 13,75 kN (T), BC: 13,75 kN (T), CD: 31,25 kN (T), DE: 31,25 kN (T), FG: 52,5 kN (C), GH: 52,5 kN (C), AF: 54,8 kN (C), HE: 44,19 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 19,45 kN (T), HC: 5,303 kN (C)

Risposta

Asta scarica: CG
7.Freccia della trave

Risposta: δmax = 1,329 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 1500 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Freccia

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·1500⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 1,329 mm

Risposta

δmax = 1,329 mm
8.Freccia della trave

Risposta: RB = 15 kN

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione). Per una trave iperstatica, rimuovi un vincolo sovrabbondante e imponi che lì la freccia sia nulla (congruenza).

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δload = wL⁴/(8EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello RB solleva l’estremo libero di RBL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·4/8 = 15 kN

Risposta

RB = 15 kN
9.Instabilità delle colonne

Risposta: Pcr = 9,646 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Carico critico

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9,646 kN

Risposta

Pcr = 9,646 kN
10.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 38,18 mm

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Carico critico richiesto

Pcr = n·P = 3·35000 = 105000 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 38,18 mm

Risposta

d = 38,18 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 146,7, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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