Analisi delle strutture: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d

Metodo

  1. Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
  2. Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
  3. Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
  4. Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
  2. Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
  3. Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
  4. Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
  2. Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
  4. Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria
δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata
δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo
δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti
δ = δ1 + δ2

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera
K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica
σcr = Pcr/A
Snellezza
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Reazioni vincolari delle traviMedia
P1​ = 55 kNP2​ = 40 kNABRA​ = ?RB​1 m0,5 m4,5 m

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RA.

L = 6 mP1 = 55 kN in 1 mP2 = 40 kN in 1,5 m
RA = kN
2.Reazioni vincolari delle traviDifficile
P = 80 kN, 45°Q = 80 kNABα = ?3 m5 m2 m

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Un carico P agisce a 8 m da A, inclinato di 45° rispetto all’orizzontale, e un carico verticale Q agisce a 3 m da A. Trova l’angolo α tra la reazione totale nella cerniera A e l’orizzontale.

L = 10 mP = 80 kN in 8 m, θ = 45°Q = 80 kN in 3 m
α = °
3.Taglio e momento flettenteMedia
30 kN20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

30 kN @ 2 m20 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Taglio e momento flettenteDifficile
40 kN25 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

40 kN @ 0 m25 kN @ 12 m15 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
ABCDEFGH20 kN25 kN40 kN15 kN4 × 3 m3 m

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

B: 20 kN ↓C: 25 kN ↓D: 40 kN ↓F: 15 kN ↓
  1. 1asta AB
  2. 2asta BC
  3. 3asta CD
  4. 4asta DE
  5. 5asta FG
  6. 6asta GH
  7. 7asta AF
  8. 8asta HE
  9. 9asta BF
  10. 10asta CG
  11. 11asta DH
  12. 12asta FC
  13. 13asta HC
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
ABBCACACB60 kN30 kN6 m1 m4 m

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 6 maltezza = 4 mB è a 1 m da Acarico verticale = 60 kNcarico orizzontale = 30 kN ←
FAB = kN
7.Freccia della traveMedia
P = 25 kNABδ1 m4 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 1 m dall’appoggio A. Trova la freccia δP sotto il carico.

P = 25 kNa = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Freccia della traveDifficile
P = 25 kNABδ4 m2 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a b = 2 m dall’appoggio B. Trova la freccia δmid in mezzeria.

P = 25 kNb = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (acciaio)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.Instabilità delle colonneMedia
PL = 6 md = 50 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (alluminio)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Instabilità delle colonneDifficile
P = 115 kNL = 4 md = ?sezione trasversale

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Deve portare 115 kN con un coefficiente di sicurezza di 2 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 115 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)
d = mm

3Soluzioni

1.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: RA = 75,83 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

P1​ = 55 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​1 m0,5 m4,5 m

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣMA = 0: RB·6 = 55·1 + 40·1,5
RB = 115/6 = 19,17 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 19,17 = 75,83 kN

Risposta

RA = 75,83 kN
2.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: α = 49,96 °

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Componenti di P

Pv = 80·sin 45° = 56,57 kN
Ph = 80·cos 45° = 56,57 kN

Reazioni

ΣMA = 0: RB·10 = 56,57·8 + 80·3 → RB = 69,25 kN
Ay = 56,57 + 80 − 69,25 = 67,31 kN
Ax = Ph = 56,57 kN

Direzione in A

α = atan(Ay/Ax) = atan(67,31/56,57) = 49,96°

Risposta

α = 49,96°
3.Taglio e momento flettente

Risposta: C (x = 2 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R1 = 36,67 kN, R2 = 13,33 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

MA = 0, MB = 36,67, MC = 53,33 kN·m, MD = 40, ME = 26,67, MF = 13,33, MG = 0

Risposta

Punto C: MC = 53,33 kN·m
4.Taglio e momento flettente

Risposta: B (x = 2 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R1 = 51,25 kN, R2 = 28,75 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

MA = 0, MB = −80 kN·m, MC = −57,5, MD = −35, ME = −42,5, MF = −50, MG = 0

Risposta

Punto B: MB = −80 kN·m
5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta CG

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo G

FG e GH stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 48,75 kN (T), BC: 48,75 kN (T), CD: 51,25 kN (T), DE: 51,25 kN (T), FG: 62,5 kN (C), GH: 62,5 kN (C), AF: 68,94 kN (C), HE: 72,48 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 19,45 kN (T), HC: 15,91 kN (T)

Risposta

Asta scarica: CG
6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: FAB = −72,15 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

ABBCACACB60 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣMA = 0: Cy·6 = 60·1 − 30·4 → Cy = −10 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − −10 = 70 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

Nodo A

Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −70/0,9701 = −72,15 kN

Risposta

FAB = −72,15 kN (compressione)
7.Freccia della trave

Risposta: δP = 4,535 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 25000 N, a = 1000 mm, b = 4000 mm, L = 5000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δP = Pa²b²/(3EIL) = 25000·1000²·4000²/(3·5,88 × 10¹²·5000) = 4,535 mm

Risposta

δP = 4,535 mm
8.Freccia della trave

Risposta: δmid = 8,406 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 25000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Freccia in mezzeria

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 25000·2000·(3·6000² − 4·2000²)/(48·1,14 × 10¹³) = 8,406 mm

Risposta

δmid = 8,406 mm
9.Instabilità delle colonne

Risposta: Pcr = 12,02 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Carico critico

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4200² = 12016 N = 12,02 kN

Risposta

Pcr = 12,02 kN
10.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 55,51 mm

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Carico critico richiesto

Pcr = n·P = 2·115000 = 230000 N
KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 55,51 mm

Risposta

d = 55,51 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 144,1, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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