Analisi delle strutture: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico uniformemente distribuito w dalla parete fino a 6 m e un carico concentrato P a 3 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione M_A alla parete.

L = 8 mP = 50 kN in 3 mw = 4 kN/m da 0 a 6 m

M_A = kN·m

2.Reazioni vincolari delle traviDifficile

La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico linearmente variabile che vale 10 kN/m alla parete e decresce fino a zero all’estremo libero B, più un carico concentrato P a 4,5 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione M_A alla parete.

L = 6 mw₀ = 10 kN/mP = 50 kN in 4,5 m

M_A = kN·m

3.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

30 kN @ 6 m8 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

4.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mP = 35 kN in 3 mw = 6 kN/m da 0 a 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 4 maltezza = 2 mB è a 3 m da Acarico verticale = 30 kN

F_AB = kN

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 5 maltezza = 2 mB è a 1 m da Acarico verticale = 10 kNcarico orizzontale = 30 kN ←

F_AB = kN

7.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 3 m dall’appoggio A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 23 kNa = 3 mL = 5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 23 kNw = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (alluminio)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 20 kN con un coefficiente di sicurezza di 2 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 20 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: M_A = 222 kN·m

Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale R_A e un momento di reazione M_A. ΣF_y = 0 dà R_A, e i momenti rispetto alla parete danno M_A = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.

Risultante del carico distribuito

W = 4·6 = 24 kN, x̄ = 3 m

Momento rispetto alla parete

M_A = P·a + W·x̄ = 50·3 + 24·3 = 222 kN·m

Risposta

M_A = 222 kN·m

2.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: M_A = 285 kN·m

Risultante del carico triangolare

W = ½·10·6 = 30 kN

x̄ = L/3 = 2 m

Momento rispetto alla parete

M_A = W·x̄ + P·a = 30·2 + 50·4,5 = 285 kN·m

Risposta

M_A = 285 kN·m

3.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 6 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 63 kN, R₂ = 63 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 110, M_C = 188, M_D = 234 kN·m, M_E = 188, M_F = 110, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 234 kN·m

4.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 110,6 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·3 + 6·8·4

R_B = 297/8 = 37,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 37,13 = 45,88 kN

Taglia in x = 3 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 45,88·3 − 6·3·1,5 = 110,6 kN·m

Risposta

M_x = 110,6 kN·m

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AB = −13,52 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·3 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 22,5 = 7,5 kN

Nodo A

Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −7,5/0,5547 = −13,52 kN

Risposta

F_AB = −13,52 kN (compressione)

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AB = −22,36 kN

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·1 − 30·2 → C_y = −10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −10 = 20 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Nodo A

Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −20/0,8944 = −22,36 kN

Risposta

F_AB = −22,36 kN (compressione)

7.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 12 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 23000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 23000·3000²·2000²/(3·4,6 × 10¹²·5000) = 12 mm

Risposta

δ_P = 12 mm

8.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 3,003 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 23000 N, w = 20 N/mm, L = 2500 mm, EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 23000·2500³/(48·5,88 × 10¹²) = 1,273 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 1,73 mm

Sommale

δ_max = 1,273 + 1,73 = 3,003 mm

Risposta

δ_max = 3,003 mm

9.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 86,82 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·4000 = 4000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/4000² = 86818 N = 86,82 kN

Risposta

P_cr = 86,82 kN

10.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 80,16 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2·20000 = 40000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 80,16 mm

Risposta

d = 80,16 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 499, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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