Analisi delle strutture: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d

Metodo

  1. Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
  2. Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
  3. Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
  4. Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
  2. Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
  3. Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
  4. Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
  2. Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
  4. Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria
δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata
δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo
δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti
δ = δ1 + δ2

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera
K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica
σcr = Pcr/A
Snellezza
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Reazioni vincolari delle traviMedia
w0​ = 8 kN/mABRA​ = ?8 m

La trave semplicemente appoggiata (cerniera in A, carrello in B) porta un carico linearmente variabile che decresce da 8 kN/m in A fino a zero in B. Trova la reazione vincolare verticale RA.

L = 8 mw0 = 8 kN/m
RA = kN
2.Reazioni vincolari delle traviDifficile
w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​RB​ = ?2 m1,5 m0,5 m2 m

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.

L = 6 mP = 50 kN in 3,5 mw = 3 kN/m da 2 a 4 m
RB = kN
3.Taglio e momento flettenteMedia
P1​ = 15 kNP2​ = 25 kNAB1 m1,5 m2,5 m

La trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.

L = 5 mP1 = 15 kN in 1 mP2 = 25 kN in 2,5 m
Mmax = kN·m
4.Taglio e momento flettenteDifficile
w = 8 kN/mP = 20 kNAB6 m4 m

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.

L = 10 mP = 20 kN in 6 mw = 8 kN/m da 0 a 10 m
Mmax = kN·m
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
ABCDEFGH25 kN25 kN25 kN4 × 3 m3 m

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

B: 25 kN ↓C: 25 kN ↓D: 25 kN ↓
  1. 1asta AB
  2. 2asta BC
  3. 3asta CD
  4. 4asta DE
  5. 5asta FG
  6. 6asta GH
  7. 7asta AF
  8. 8asta HE
  9. 9asta BF
  10. 10asta CG
  11. 11asta DH
  12. 12asta FC
  13. 13asta HC
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
ABCDEFGH10 kN30 kN25 kN20 kN4 × 3 m4 m

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

D: 10 kN ↓F: 30 kN ↓F: 25 kN →H: 20 kN ↓
  1. 1asta AB
  2. 2asta BC
  3. 3asta CD
  4. 4asta DE
  5. 5asta FG
  6. 6asta GH
  7. 7asta AF
  8. 8asta HE
  9. 9asta BF
  10. 10asta CG
  11. 11asta DH
  12. 12asta BG
  13. 13asta DG
7.Freccia della traveMedia
w = 15 kN/mP = 5 kNABδ2,5 m

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P all’estremo libero. Usando la sovrapposizione, trova la freccia δ all’estremo libero.

P = 5 kNw = 15 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Freccia della traveDifficile
w = 5 kN/mδL = 3 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo Ireq che rispetta questo limite.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (legno strutturale)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Instabilità delle colonneMedia
PL = 3 md = 60 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Instabilità delle colonneDifficile
P = 90 kNL = 5 md = ?sezione trasversale

Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 90 kN con un coefficiente di sicurezza di 2,5 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 90 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (alluminio)
d = mm

3Soluzioni

1.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: RA = 21,33 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Risultante del carico triangolare

W = ½·8·8 = 32 kN
x̄ = L/3 = 2,667 m

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣMA = 0: RB·8 = 32·2,667
RB = 10,67 kN
RA = 32 − 10,67 = 21,33 kN

Risposta

RA = 21,33 kN
2.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: RB = 32,17 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​RB​2 m1,5 m0,5 m2 m

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, applicata in x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·3,5 + 3·2·3
RB = 193/6 = 32,17 kN
ΣFy = 0: RA = 56 − 32,17 = 23,83 kN

Risposta

RB = 32,17 kN
3.Taglio e momento flettente

Risposta: Mmax = 38,75 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

ΣMA = 0: RB·5 = 15·1 + 25·2,5
RB = 77,5/5 = 15,5 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 15,5 = 24,5 kN

Momento sotto ciascun carico

Tieni la parte a sinistra di ciascun carico.

sotto P1: M = RA·1 = 24,5·1 = 24,5 kN·m
sotto P2: M = RB·2,5 = 15,5·2,5 = 38,75 kN·m

Valore massimo

Mmax = 38,75 kN·m (sotto P2)

Risposta

Mmax = 38,75 kN·m
4.Taglio e momento flettente

Risposta: Mmax = 144 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, applicata in x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·6 + 8·10·5
RB = 520/10 = 52 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 52 = 48 kN

Dove è V = 0?

V(6⁻) = RA − w·6 = 0 kN
V(6⁺) = 0 − 20 = −20 kN
Il taglio cambia segno in corrispondenza del carico, quindi il massimo è sotto il carico.

Momento massimo

Mmax = RA·6 − w·6²/2 = 48·6 − 8·6²/2 = 144 kN·m

Risposta

Mmax = 144 kN·m

Si trova in x = 6 m da A.

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta CG

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo G

FG e GH stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 37,5 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 37,5 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 53,03 kN (C), HE: 53,03 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 17,68 kN (T), HC: 17,68 kN (T)

Risposta

Asta scarica: CG
6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta CG

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo C

BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 41,25 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 28,75 kN (T), FG: 41,25 kN (C), GH: 28,75 kN (C), AF: 27,08 kN (C), HE: 47,92 kN (C), BF: 8,333 kN (C), CG: 0, DH: 18,33 kN (T), BG: 10,42 kN (T), DG: 10,42 kN (C)

Risposta

Asta scarica: CG
7.Freccia della trave

Risposta: δ = 39,4 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 5000 N, w = 15 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δP = PL³/(3EI) = 5000·2500³/(3·2,52 × 10¹²) = 10,33 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 15·2500⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 29,06 mm

Sommale

δ = 10,33 + 29,06 = 39,4 mm

Risposta

δ = 39,4 mm
8.Freccia della trave

Risposta: Ireq = 57,53 × 10⁶ mm⁴

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Limite di freccia

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·3000⁴/(384·11000·8,333) = 5,753 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 57,53 × 10⁶ mm⁴

Risposta

Ireq = 57,53 × 10⁶ mm⁴
9.Instabilità delle colonne

Risposta: Pcr = 558,1 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Carico critico

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/1500² = 558113 N = 558,1 kN

Risposta

Pcr = 558,1 kN
10.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 160,5 mm

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Carico critico richiesto

Pcr = n·P = 2,5·90000 = 225000 N
KL = 2·5000 = 10000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 160,5 mm

Risposta

d = 160,5 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 249,2, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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