Analisi delle strutture: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Porta un carico concentrato P a 3,5 m da A e una coppia antioraria M a 4,5 m da A. Trova la reazione verticale R_A, considerando positivo il verso verso l’alto.

L = 5 mP = 35 kN in 3,5 mM = 25 kN·m (antioraria) in 4,5 m

R_A = kN

2.Reazioni vincolari delle traviDifficile

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale R_B.

L = 6 mP = 35 kN in 3 mw = 8 kN/m da 4 a 5 m

R_B = kN

3.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 0,5 m da A. Trova il momento flettente M_A all’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 45 kN in 0,5 mw = 6 kN/m da 0 a 5 m

M_A = kN·m

4.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

30 kN @ 0 m30 kN @ 6 m25 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_BC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 5 maltezza = 2 mB è a 4 m da Acarico verticale = 60 kN

F_BC = kN

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

B: 10 kN ↓C: 40 kN ↓F: 10 kN →G: 10 kN ↓H: 10 kN ↓

1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta FC
13asta HC

7.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 16 kNw = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acciaio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 15,5 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Momenti rispetto ad A

Positivo in senso antiorario.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 35·3,5 + 25 = 0

R_B = 97,5/5 = 19,5 kN

Equilibrio verticale

R_A = 35 − 19,5 = 15,5 kN

Risposta

R_A = 15,5 kN

Una reazione negativa agisce verso il basso.

2.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_B = 23,5 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, applicata in x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·3 + 8·1·4,5

R_B = 141/6 = 23,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 43 − 23,5 = 19,5 kN

Risposta

R_B = 23,5 kN

3.Taglio e momento flettente

Risposta: M_A = −97,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −45·0,5 = −22,5 kN·m

w: −6·5²/2 = −75 kN·m

M_A = −22,5 − 75 = −97,5 kN·m

Risposta

M_A = −97,5 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

4.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 4 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 36,67 kN, R₂ = 48,33 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = −23,33, M_D = −41,67, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = −60 kN·m

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_BC = −53,67 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·4 → C_y = 48 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 48 = 12 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −48/0,8944 = −53,67 kN

Risposta

F_BC = −53,67 kN (compressione)

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta DH

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo D

CD e DE stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 42,5 kN (T), BC: 42,5 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 37,5 kN (T), FG: 65 kN (C), GH: 65 kN (C), AF: 45,96 kN (C), HE: 53,03 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 31,82 kN (T), HC: 38,89 kN (T)

Risposta

Asta scarica: DH

7.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 7,266 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 7,266 mm

Risposta

δ_max = 7,266 mm

8.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 40,44 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 16000 N, w = 15 N/mm, L = 8000 mm, EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 16000·8000³/(48·2,4 × 10¹³) = 7,111 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·8000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 33,33 mm

Sommale

δ_max = 7,111 + 33,33 = 40,44 mm

Risposta

δ_max = 40,44 mm

9.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 313,9 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

Risposta

P_cr = 313,9 kN

10.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 87,73 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/5 = 150

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Risposta

σ_cr = 87,73 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis