Analisi delle strutture: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d

Metodo

  1. Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
  2. Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
  3. Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
  4. Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
  2. Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
  3. Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
  4. Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
  2. Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
  4. Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria
δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata
δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo
δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti
δ = δ1 + δ2

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera
K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica
σcr = Pcr/A
Snellezza
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Reazioni vincolari delle traviMedia
P1​ = 55 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​ = ?1,5 m1 m3,5 m

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.

L = 6 mP1 = 55 kN in 1,5 mP2 = 50 kN in 2,5 m
RB = kN
2.Reazioni vincolari delle traviDifficile
w = 10 kN/mP = 55 kNABRA​ = ?RB​2 m2 m1 m

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RA.

L = 5 mP = 55 kN in 4 mw = 10 kN/m da 2 a 5 m
RA = kN
3.Taglio e momento flettenteMedia
P1​ = 65 kNP2​ = 45 kNAB5 m1 m4 m

La trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.

L = 10 mP1 = 65 kN in 5 mP2 = 45 kN in 6 m
Mmax = kN·m
4.Taglio e momento flettenteDifficile
w = 24 kN/mAB1 m3 m1 m

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova la distanza x0 da A alla sezione in cui il momento flettente è massimo.

L = 5 mw = 24 kN/m da 1 a 4 m
x0 = m
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
ABCDEFGH15 kN15 kN15 kN25 kN15 kN4 × 4 m4 m

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

B: 15 kN ↓C: 15 kN ↓F: 15 kN ↓G: 25 kN ↓H: 15 kN ↓
  1. 1asta AB
  2. 2asta BC
  3. 3asta CD
  4. 4asta DE
  5. 5asta FG
  6. 6asta GH
  7. 7asta AF
  8. 8asta HE
  9. 9asta BF
  10. 10asta CG
  11. 11asta DH
  12. 12asta FC
  13. 13asta HC
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
ABBCACACB20 kN15 kN5 m2 m3 m

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 5 maltezza = 3 mB è a 2 m da Acarico verticale = 20 kNcarico orizzontale = 15 kN ←
FAB = kN
7.Freccia della traveMedia
w = 8 kN/mδL = 3 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δmax, in mezzeria.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acciaio)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Freccia della traveDifficile
w = 3 kN/mABδ4 m

Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 75 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/360. Trova l’altezza minima hreq della sezione.

w = 3 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (legno strutturale)b = 75 mm
hreq = mm
9.Instabilità delle colonneMedia
PL = 4 m40 × 100 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Instabilità delle colonneDifficile
P = 145 kNL = 1,5 md = ?sezione trasversale

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 145 kN con un coefficiente di sicurezza di 2,5 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 145 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)
d = mm

3Soluzioni

1.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: RB = 34,58 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

P1​ = 55 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​1,5 m1 m3,5 m

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣMA = 0: RB·6 = 55·1,5 + 50·2,5
RB = 207,5/6 = 34,58 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 34,58 = 70,42 kN

Risposta

RB = 34,58 kN
2.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: RA = 20 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

w = 10 kN/mP = 55 kNABRA​RB​2 m2 m1 m

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, applicata in x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 55·4 + 10·3·3,5
RB = 325/5 = 65 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 65 = 20 kN

Risposta

RA = 20 kN
3.Taglio e momento flettente

Risposta: Mmax = 252,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

ΣMA = 0: RB·10 = 65·5 + 45·6
RB = 595/10 = 59,5 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 59,5 = 50,5 kN

Momento sotto ciascun carico

Tieni la parte a sinistra di ciascun carico.

sotto P1: M = RA·5 = 50,5·5 = 252,5 kN·m
sotto P2: M = RB·4 = 59,5·4 = 238 kN·m

Valore massimo

Mmax = 252,5 kN·m (sotto P1)

Risposta

Mmax = 252,5 kN·m
4.Taglio e momento flettente

Risposta: x0 = 2,5 m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 24·3 = 72 kN, applicata in x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 24·3·2,5
RB = 180/5 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 36 = 36 kN

Taglio nullo

Il taglio parte da RA, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 36/24 = 2,5 m

Risposta

x0 = 2,5 m
5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta DH

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo D

CD e DE stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 46,25 kN (T), BC: 46,25 kN (T), CD: 38,75 kN (T), DE: 38,75 kN (T), FG: 62,5 kN (C), GH: 62,5 kN (C), AF: 65,41 kN (C), HE: 54,8 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 22,98 kN (T), HC: 33,59 kN (T)

Risposta

Asta scarica: DH
6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: FAB = −25,24 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

ABBCACACB20 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣMA = 0: Cy·5 = 20·2 − 15·3 → Cy = −1 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − −1 = 21 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Nodo A

Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −21/0,8321 = −25,24 kN

Risposta

FAB = −25,24 kN (compressione)
7.Freccia della trave

Risposta: δmax = 3,516 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Freccia

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 3,516 mm

Risposta

δmax = 3,516 mm
8.Freccia della trave

Risposta: hreq = 235,7 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite di freccia

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento d’inerzia richiesto

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·4000⁴/(384·11000·11,11) = 8,182 × 10⁷ mm⁴

Altezza richiesta

bh³/12 = Ireq → h = (12·8,182 × 10⁷/75)1/3 = 235,7 mm

Risposta

hreq = 235,7 mm

In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.

9.Instabilità delle colonne

Risposta: Pcr = 263,2 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carico critico

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/2000² = 263189 N = 263,2 kN

Risposta

Pcr = 263,2 kN
10.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 76,18 mm

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Carico critico richiesto

Pcr = n·P = 2,5·145000 = 362500 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·362500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 76,18 mm

Risposta

d = 76,18 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 157,5, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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