Analisi delle strutture: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d

Metodo

  1. Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
  2. Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
  3. Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
  4. Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
  2. Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
  3. Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
  4. Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
  2. Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
  4. Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria
δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata
δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo
δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti
δ = δ1 + δ2

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera
K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica
σcr = Pcr/A
Snellezza
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Reazioni vincolari delle traviMedia
P1​ = 30 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​ = ?7 m1 m2 m

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.

L = 10 mP1 = 30 kN in 7 mP2 = 45 kN in 8 m
RB = kN
2.Reazioni vincolari delle traviDifficile
w = 10 kN/mP = 25 kNABRA​RB​ = ?1 m2 m1 m

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.

L = 4 mP = 25 kN in 1 mw = 10 kN/m da 1 a 3 m
RB = kN
3.Taglio e momento flettenteMedia
w = 12 kN/mP = 80 kNABsezione0,5 m2,5 m

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 3 m da A. Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 0,5 m dall’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 3 mP = 80 kN in 3 mw = 12 kN/m da 0 a 3 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
4.Taglio e momento flettenteDifficile
w = 12 kN/mP = 30 kNABsezione3 m6 m1 m

Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 3 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mP = 30 kN in 9 mw = 12 kN/m da 0 a 10 mx = 3 m
Mx = kN·m
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
ABCDEFGH30 kN15 kN10 kN4 × 4 m3 m

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

B: 30 kN ↓C: 15 kN ↓G: 10 kN ↓
  1. 1asta AB
  2. 2asta BC
  3. 3asta CD
  4. 4asta DE
  5. 5asta FG
  6. 6asta GH
  7. 7asta AF
  8. 8asta HE
  9. 9asta BF
  10. 10asta CG
  11. 11asta DH
  12. 12asta FC
  13. 13asta HC
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
ABCDEFGH40 kN25 kN30 kN25 kN40 kN4 × 4 m4 m

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

B: 40 kN ↓D: 25 kN ↓G: 30 kN ↓H: 25 kN ↓H: 40 kN ←
  1. 1asta AB
  2. 2asta BC
  3. 3asta CD
  4. 4asta DE
  5. 5asta FG
  6. 6asta GH
  7. 7asta AF
  8. 8asta HE
  9. 9asta BF
  10. 10asta CG
  11. 11asta DH
  12. 12asta BG
  13. 13asta DG
7.Freccia della traveMedia
w = 5 kN/mABθ4 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la rotazione θA della trave all’appoggio A, in radianti.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acciaio)I = 23 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Freccia della traveDifficile
P = 5 kNABδ3 m2 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a b = 2 m dall’appoggio B. Trova la freccia δmid in mezzeria.

P = 5 kNb = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.Instabilità delle colonneMedia
PL = 6 m30 × 80 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.Instabilità delle colonneDifficile
P = 115 kNL = 3 md = ?sezione trasversale

Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Deve portare 115 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 115 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (alluminio)
d = mm

3Soluzioni

1.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: RB = 57 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

P1​ = 30 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​7 m1 m2 m

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣMA = 0: RB·10 = 30·7 + 45·8
RB = 570/10 = 57 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 57 = 18 kN

Risposta

RB = 57 kN
2.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: RB = 16,25 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

w = 10 kN/mP = 25 kNABRA​RB​1 m2 m1 m

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, applicata in x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 25·1 + 10·2·2
RB = 65/4 = 16,25 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 16,25 = 28,75 kN

Risposta

RB = 16,25 kN
3.Taglio e momento flettente

Risposta: Mx = −237,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −80·2,5 = −200 kN·m
w: −12·2,5²/2 = −37,5 kN·m
Mx = −200 − 37,5 = −237,5 kN·m

Risposta

Mx = −237,5 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

4.Taglio e momento flettente

Risposta: Mx = 135 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, applicata in x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·9 + 12·10·5
RB = 870/10 = 87 kN
ΣFy = 0: RA = 150 − 87 = 63 kN
w = 12 kN/mP = 30 kNABRA​ = 63RB​ = 87sezione3 m6 m1 m

Taglia in x = 3 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = RA·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)
Mx = 63·3 − 12·3·1,5 = 135 kN·m

Risposta

Mx = 135 kN·m
5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta DH

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo D

CD e DE stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 46,67 kN (T), BC: 46,67 kN (T), CD: 26,67 kN (T), DE: 26,67 kN (T), FG: 53,33 kN (C), GH: 53,33 kN (C), AF: 58,33 kN (C), HE: 33,33 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 8,333 kN (T), HC: 33,33 kN (T)

Risposta

Asta scarica: DH
6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta CG

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo C

BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 27,5 kN (T), BC: 55 kN (T), CD: 55 kN (T), DE: 52,5 kN (T), FG: 67,5 kN (C), GH: 92,5 kN (C), AF: 95,46 kN (C), HE: 74,25 kN (C), BF: 67,5 kN (T), CG: 0, DH: 27,5 kN (T), BG: 38,89 kN (C), DG: 3,536 kN (C)

Risposta

Asta scarica: CG
7.Freccia della trave

Risposta: θA = 0,002899 rad

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione). La rotazione θ = dv/dx è il primo integrale di M/(EI); in unità coerenti risulta in radianti.

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Rotazione all’estremo

θA = wL³/(24EI) = 5·4000³/(24·4,6 × 10¹²) = 0,002899 rad

Risposta

θA = 0,002899 rad

Cioè 0,1661°.

8.Freccia della trave

Risposta: δmid = 3,081 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 5000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Freccia in mezzeria

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 5000·2000·(3·5000² − 4·2000²)/(48·3,99 × 10¹²) = 3,081 mm

Risposta

δmid = 3,081 mm
9.Instabilità delle colonne

Risposta: Pcr = 2,467 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·6000 = 12000 mm

Carico critico

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/12000² = 2467 N = 2,467 kN

Risposta

Pcr = 2,467 kN
10.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 81,84 mm

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Carico critico richiesto

Pcr = n·P = 3·115000 = 345000 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 81,84 mm

Risposta

d = 81,84 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 102,6, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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