Analisi delle strutture: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d

Metodo

  1. Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
  2. Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
  3. Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
  4. Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
  2. Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
  3. Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
  4. Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

  1. Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
  2. Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
  3. Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
  4. Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria
δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata
δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo
δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti
δ = δ1 + δ2

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera
K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica
σcr = Pcr/A
Snellezza
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Reazioni vincolari delle traviMedia
P1​ = 20 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​ = ?1,5 m3 m1,5 m

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.

L = 6 mP1 = 20 kN in 1,5 mP2 = 55 kN in 4,5 m
RB = kN
2.Reazioni vincolari delle traviDifficile
w0​ = 6 kN/mP = 45 kNABMA​ = ?1,5 m2,5 m

La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico linearmente variabile che è nullo alla parete e cresce fino a 6 kN/m all’estremo libero B, più un carico concentrato P a 1,5 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione MA alla parete.

L = 4 mw0 = 6 kN/mP = 45 kN in 1,5 m
MA = kN·m
3.Taglio e momento flettenteMedia
P1​ = 70 kNP2​ = 10 kNAB2 m1,5 m1,5 m

La trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.

L = 5 mP1 = 70 kN in 2 mP2 = 10 kN in 3,5 m
Mmax = kN·m
4.Taglio e momento flettenteDifficile
12 kN/m20 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

20 kN @ 6 m30 kN @ 3 m12 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
ABCDEFGH15 kN20 kN4 × 3 m4 m

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

G: 15 kN ↓H: 20 kN ↓
  1. 1asta AB
  2. 2asta BC
  3. 3asta CD
  4. 4asta DE
  5. 5asta FG
  6. 6asta GH
  7. 7asta AF
  8. 8asta HE
  9. 9asta BF
  10. 10asta CG
  11. 11asta DH
  12. 12asta BG
  13. 13asta DG
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
ABCDEFGH10 kN20 kN20 kN15 kN30 kN4 × 4 m3 m

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

B: 10 kN ↓C: 20 kN ↓F: 20 kN ↓F: 15 kN →G: 30 kN ↓
  1. 1asta AB
  2. 2asta BC
  3. 3asta CD
  4. 4asta DE
  5. 5asta FG
  6. 6asta GH
  7. 7asta AF
  8. 8asta HE
  9. 9asta BF
  10. 10asta CG
  11. 11asta DH
  12. 12asta FC
  13. 13asta HC
7.Freccia della traveMedia
P = 10 kNABδ4 m1 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 4 m dall’appoggio A. Trova la freccia δP sotto il carico.

P = 10 kNa = 4 mL = 5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Freccia della traveDifficile
w = 10 kN/mδL = 8 m

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo Ireq che rispetta questo limite.

w = 10 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acciaio)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Instabilità delle colonneMedia
PL = 2,5 md = 60 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Instabilità delle colonneDifficile
P = 20 kNL = 3 md = ?sezione trasversale

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Deve portare 20 kN con un coefficiente di sicurezza di 2,5 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 20 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)
d = mm

3Soluzioni

1.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: RB = 46,25 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

P1​ = 20 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​1,5 m3 m1,5 m

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣMA = 0: RB·6 = 20·1,5 + 55·4,5
RB = 277,5/6 = 46,25 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 46,25 = 28,75 kN

Risposta

RB = 46,25 kN
2.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: MA = 99,5 kN·m

Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale RA e un momento di reazione MA. ΣFy = 0 dà RA, e i momenti rispetto alla parete danno MA = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.

Risultante del carico triangolare

W = ½·6·4 = 12 kN
x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Momento rispetto alla parete

MA = W·x̄ + P·a = 12·2,667 + 45·1,5 = 99,5 kN·m

Risposta

MA = 99,5 kN·m
3.Taglio e momento flettente

Risposta: Mmax = 90 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

ΣMA = 0: RB·5 = 70·2 + 10·3,5
RB = 175/5 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 35 = 45 kN

Momento sotto ciascun carico

Tieni la parte a sinistra di ciascun carico.

sotto P1: M = RA·2 = 45·2 = 90 kN·m
sotto P2: M = RB·1,5 = 35·1,5 = 52,5 kN·m

Valore massimo

Mmax = 90 kN·m (sotto P1)

Risposta

Mmax = 90 kN·m
4.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 3 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R1 = 38 kN, R2 = 72 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

MA = 0, MB = 32, MC = 52, MD = 60 kN·m, ME = 26, MF = −20, MG = 0

Risposta

Punto D: MD = 60 kN·m
5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta CG

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo C

BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 9,375 kN (T), BC: 18,75 kN (T), CD: 18,75 kN (T), DE: 16,87 kN (T), FG: 9,375 kN (C), GH: 16,87 kN (C), AF: 15,63 kN (C), HE: 28,12 kN (C), BF: 12,5 kN (T), CG: 0, DH: 2,5 kN (T), BG: 15,63 kN (C), DG: 3,125 kN (C)

Risposta

Asta scarica: CG
6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta DH

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo D

CD e DE stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 74,58 kN (T), BC: 74,58 kN (T), CD: 47,08 kN (T), DE: 47,08 kN (T), FG: 94,17 kN (C), GH: 94,17 kN (C), AF: 74,48 kN (C), HE: 58,85 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 24,48 kN (T), HC: 58,85 kN (T)

Risposta

Asta scarica: DH
7.Freccia della trave

Risposta: δP = 1,814 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 10000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δP = Pa²b²/(3EIL) = 10000·4000²·1000²/(3·5,88 × 10¹²·5000) = 1,814 mm

Risposta

δP = 1,814 mm
8.Freccia della trave

Risposta: Ireq = 120 × 10⁶ mm⁴

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Limite di freccia

δallow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·8000⁴/(384·200000·22,22) = 1,2 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 120 × 10⁶ mm⁴

Risposta

Ireq = 120 × 10⁶ mm⁴
9.Instabilità delle colonne

Risposta: Pcr = 17,58 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carico critico

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/5000² = 17581 N = 17,58 kN

Risposta

Pcr = 17,58 kN
10.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 32,83 mm

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Carico critico richiesto

Pcr = n·P = 2,5·20000 = 50000 N
KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 32,83 mm

Risposta

d = 32,83 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 182,8, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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